Re: [MD-sorular] RE: (-pi)^pi hakkýnda

[Ali Ýlik]

"Çok kolay olması gerekiyor ama işin içinden çıkamadım."

Çetrefili pürüzler çıkabileceğini sezdim ve o yüzden konunun üzerine ısrarla
gittim.

Ä°yiki bu konudan bahsettik.

Kompleks analiz derslerinde gösterilmiyor mu bunlar? Henüz kompleks
almadığımdan -3.sınıfta, seneye, alacağım- bilmiyorum.

İrrasyonellere gelince feci çığırından çıkıyor hakikaten.

Mesela (-pi)^pi yi anlamaya çalıştım.

Yapabilir miyiz (-pi)^pi ye bir ÅŸeyler?

(-pi)^pi reel sayı değilse içim fena burkulur! Çünkü çok alıştırdım kendimi
reeldir diye.

Neyse, düşüneyim biraz.




04.06.2007 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> Çok kolay olması gerekiyor ama işin içinden çıkamadım.
> Daha önceleri, üs alma a>0 için tanımlıdır diyip işin içinden
> çıkmıştım, ama şimdi karmaşık sayıları düşününce sorun çıkıyor.
>
> (-1)^3 sayısını düşünelim. Şimdi 3 = 6/2 olduğundan bu sayı (-1)^6/2
> sayısına eşit olmalıdır, öyle değil mi?
>
> Ancak -1 = (-1)^3 = (-1)^(6/2) = ((-1)^6)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
>
> Burada, şu anda, yukarıdaki problemin tam olarak nerede olduğunu
> gördüm. Her zamanki gibi logaritmanın tek bir şekilde tanımlanamaması.
> Yine de hoş bir gözlem olduğunu düşündüğümden mektubu tamamlıyorum.
> Problemi tam olarak görmek için her şeyi karmaşık notasyonda yazalım.
>
> -1 = (-1)^3 = exp(3pi * i) = exp (3 * ln (-1)) = exp(6/2 *ln (-1)) =
> exp ( 6 ln (-1))^(1/2)
>         = exp (6pi * i)^(1/2) = exp(0) ^(1/2) = exp 0 = 1
>
> Buradaki sorun 1/2'yi dışarı almamızda, yani exp (ab) = exp(a)^b
> dememizde.
> Peki bunu gerçelde diyebilirken, karmaşıkta sorun ne oluyor?
> exp(a)^b = exp(b * ln exp(a))
> İşte eğer ln exp (a) = a  olsa idi her şey güllük gülistanlık
> olacaktı. Amma ve lakin ln exp (a) = a + k * 2pi i
> Eğer b tamsayı olsaydı bu hiç fark etmezdi çünkü dışarıda bir üstel
> fonksiyon daha var k*2pi i faktörünü yok edecek. Ancak b = 1/2 gibi
> basit bir sayı ise bile örneğin o zaman k'nın tek ya da çift olmasına
> göre sonuç değişiyor.
> Bu da bize iki ayrı sonuç veriyor. Bunlar da karekökün iki ayrı
> branch'ı oluyor. b irrasyonelse iş iyice çığırından çıkıyor.
>
> Demek ki karmaşık sayılarda (a^b)^c = a^(bc) değilmiş her zaman.
>
> 2007/6/3, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> >
> >
> >
> >
> >
> > a^b ancak a pozitifken tanimlidir derken, gercel sayilarda us almaktan
> > sozetmistim.
> >
> > Aynen "karekok fonksiyonu sadece pozitif sayilar icin tanimlidir" derken
> > oldugu gibi. Yoksa kompleks sayilarda negatif sayilarin da karekoku
> alinir
> > elbet.
> >
> > Ne demek istedigim, aciklamamda kullandigim, "a^b = exp(b ln a)
> oldugundan,
> > ln a'yi alabilmemiz icin a'nin pozitif olmasi lazim" ifadesinden de
> belli
> > zaten.
> >
> > Kompleks sayilarda her seyin ussu alinabilir. Ali Ilik'in asagida
> verdigi
> > link'te tanimi var.
> >
> > Ornegin, (-1)^pi = cos(pi^2) + i sin(pi^2) eger yanilmiyorsam, demek ki
> > gercel bir sayi degil, kompleks bir sayi.
> >
> > Kok (-1)'in bir kompleks sayi olmasi gibi...
> >
> > Bu arada a^b fonksiyonu komplekslerde sorunsuz degildir. a < 0 iken b =
> 1/2
> > 'de surekli olamaz yanlis animsamiyorsam.
> >
> > Ayrica, verilen link'teki tanim uygulandiginda, (-1)^(1/2) = i
> bulunuyor,
> > yani tanim –i ile i arasinda bir secim yapiyor... Bir baska deyisle,
> > conjugation otomorfizmasi us alma fonksiyonuna saygi duymuyor.
> >
> > Ali
> >
> >
> > ________________________________
> >
> >
> > From: Ali Ä°lik [mailto:aliilik at gmail.com]
> > Sent: Sunday, June 03, 2007 3:05 PM
> > To: ali nesin
> > Subject: (-pi)^pi hakkında
> >
> >
> >
> >
> > http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function#On_the_complex_plane
> >
> >
> >
> >
> >
> > linkine göre hem a hem b kompleks iken a^b nin hesaplanmasından
> > bahsetmiÅŸler.
> >
> > Üstteki linkte yazılanlarla hemfikirseniz listeye bir açıklama
> yollamanız
> > faydalı olur sanırım. Zira "a^b ancak a>0 için tanımlıdır." demiştiniz.
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
>



-- 
"..Hadi gel konuşalım/Sulanmış bir taşlığın serinliğinde/Akşam sefaları
içinde/.." Metin Altıok
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070604/cf6db3a9/attachment.htm