[MD-sorular] Bulmaca seven kral(?)
Ali Ýlik
aliilik at gmail.com
5 Haz 2007 Sal 17:52:51 EEST
Temmuz Erdaloğlu: "Tek numaralalılar ilk n kartı seçer. Çift numaralalır da
sonraki n kartı seçer.
İlk başlayanın n/2n şansı var. Diğerine sıra geldiyse demek ki ilki doğru
tercih yapmıştır. Bu durumda 2.sinin n/2n-1 şansı olur. Yani çift
numaralıların şansı daha yüksek bu durumda."
İhsan Yücel: "Soru daha iyi anlasilsin diye 2 kisi oldugu durum icin bir
strateji ornegi de verirsek. Yukaridaki stratejiyi kullanirlarsa 1/4
olasilikla serbest kaliyorlar. Fakat, "birinci kisi birinci karti, ikinci
kisi ikinci karti acsin" stratejisi altinda 1/2 olasilikla serbest
kaliyorlar! Cunku kartlar ya 1,2 ya da 2,1dir ve durumlardan ilkinde serbest
kaliyorlar. "
Yukarıdaki yorumların doğru olduğunu düşünüyorum. Temmuz Erdaloğlu'nun
yaklaşımını birazcık daha genelleştirmeye (genelleşmedi, fantazi oldu
sadece) ve biçimselleştirmeye (ki biçimselleştireyim derken batırdım galiba)
ve oradan da daha iyi bir strateji olup olmadığından emin olmadığım bir
düşünceyi ilginize sunacağım.
İhsan Yücel'in yorumu Temmuz Erdaloğlu'nun yorumunun özel hali. İhsan'ın bu
yorumu hemen İsmet Berkan'ın 7 sene önce yazdığı meşhur bir yazısını aklıma
getirdi: http://www.radikal.com.tr/2000/08/06/yazarlar/ismber.shtml
Geçen sene de aynı soruyu farklı bir hikayeyle anlatan bir yazı daha yazmış:
http://www.radikal.com.tr/haber.php?haberno=191780
Şu link de konuyla alakalı:
http://www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_uc_kagit.doc
Şu link de faydalı olabilir:
http://www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_sapka_Problemi.doc
Bu meşhur 1/2 vs 2/3 "seç bakalım" olasılık sorusunu aslında 100 tane kapıya
genellersek insan anında ikna oluyor! İçlerinden yalnız ve yalnızca birinde
hediye olan 100 kapıdan birini seçtik (kazanma şansımız 1/100) ve sunucu
diğer 99 kapıdan 98'ini açtı diyelim. O zaman fikrimizi değiştirip diğer
kapıyı seçersek kazanma şansımız (ilk seçtiğimiz kapıda hediye olmama şansı)
99/100 olur! Bunu bir yerlerde okudum galiba. Hatırlamıyorum. Güzel bir
yorumdu. Zaten sunucu onca boş kapıyı açacak ve bize bıraktığı kapıda hediye
olmayacak... Once boş kapıyı açarak bize kıyak yapıyor... Olasılık bilmese
bile insanın hemen fikrini değiştiresi geliyor... Ama yine de duyuların,
hislerin bazen yanıltıcı olabileceğini ve kanıt denen şeyin önemini
hatırlayıp ana sorumuza geri döndüm bile.
2n tane kartı şöyle bir küme içinde yazalım: A={K_p | 1<=p<=2n}. Şimdi bu A
kümemizi A_1={K_q | 1<=q<=n} ve A_2={K_r | n+1<=r<=2n} şeklinde 2'ye
bölelim. Kartların ilk yarısı/son yarısı demek yerine böyle sembolize etmiş
olduk.
Şimdi Temmuz Eroğlu'nun yorumuna katılmakla beraber, aynı stratejiye belki
daha dolambaçlı bir yoldan şöyle de ulaşabiliriz. (Olasılık sorularında hiç
iyi değilimdir. Bu yol daha uzun olsa da paylaşıyorum. Çünkü belki buradan
bir arkadaş farklı bir açı yakalayabilir.)
Alttaki listede tercihler var. Sol taraftakiler kiÅŸileri, saÄŸdakiler ise
hangi n'li grubunu -A_1'imi A_2'yi mi- seçtiklerini gösteriyor.
Kişi Seçtiği n tane kart
1. kişi Özgür (İster A_1'i ister A_2'yi seçsin: seçtiğine A_i diyelim.
Haliyle i ya 1 ya 2.)
2. ıı (i=1 ise i++, değilse i--) A_i (Yani bu kadar uzatmayıp şunu
diyebilirdim: İlki istediğini seçecek ama 2. kişi diğerini...)
Çünkü (Temmuz Erdaloğlu'nun belirttiği gibi) 2. kişi de
birinci kişinin seçtiği gurubu seçerse /ve 2.kişiye sıra geldiğinden
1.kişinin seçtiği grupta 1.kişinin kartı var demek
olduğundan/ 2.kişinin kazanma olasılığı (n-1)/(2n-1) dir. Halbuki zıt
grubu seçerse n/(2n)'dir. Demek ki zıt grubu seçmelidir.
3. ıı Özgür! Ne farkeder A_1'i veya A_2'yi seçse? Hiçbirşey! Çünkü
zaten ilk iki kişinin seçtikleri gruplar zıt...
4. ıı 3.kişinin seçtiğinin zıttı.
5. ıı Özgür! (A_1A_2A_1_A_2, A_1A_2A_2_A_1, A_2A_1A_2_A_1,
A_2A_1A_1_A_2 durumlarından herbirinde A_l ve A_2'lerden eşit -2'şer adet
var.
6. ıı 5.kişi A_1'i seçtiyse A_2'yi, A_2'yi seçtiyse A_1'i seçsin.
Böylelikle, h. kişiye K_h dersek,
h tekse K_h özgürdür, K_(h+1) ise özgür değildir; K_h'ın seçtiğini "zıttını"
-diğer grubu- seçmeli.
Ahhh ahh.. Bir ÅŸeyi farkettim: Bu mazoÅŸistliÄŸe giriyor galiba zira bu
sıralamayı tutuklular bir gün önceden aralarında kararlaştırmalı ve
akıllarında tutmalılar. Zira bir sürü farklı sıralama var. A_1'leri bir
kenara bırakırsak, MNMNMMMN değil mesela, ardışık olmak kaydıyla rastgele
çift sayıda kart seçtiğinizde içindeki M ve N sayısı eşit olacak ve arka
arkaya en fazla 2 tane M veya N gelebilecek... Åžu olur mesela: MNNMNMMN.
(Toplam M ve N sayımız 2n...) Öyle kaç farklı sıralama var, hesaplanır
herhalde...
Ya da tutuklular matematikçi olup da -değişik bir sıralama/permütasyonla
kart seçmek isteyip- fantazi yapmak istemiş de olabilirler.
Ana yorumum şu: neden ilk kişi herhangi bir grubu seçip, diğeri zıttını
seçtikten sonra 3. kişi A_1 veya A_2 den birini seçsin ki? Belki rastgele
(karışık) n tane kart seçerse, seçtiği kartların içinde de ilk iki kişinin
kartları yoksa kazanma olasılığı n/(2n-2) dir! Ki bu da daha iyi bir
olasılık Temmuz Erdaloğlu'nun stratejisine göre (O durumda 3. kişinin
kazanma olasılığı (n-1)/(2n-2)).
Ama şöyle bir sıkıntı olabilir: 3.kişinin rastgele seçtiği n kart arasında
ilk iki kişinin kartının bulunmaması olasılığı kaçtır? Bunu bilmiyorum.
Hesaplamamız lazım. Biraz düşündüm ama bulamadım henüz. Bir arkadaş yardımcı
olursa güzel olur.
Ama bunun da -bazen (uygun indisli bir kişide) rastgele kart seçme
stratejisi- hüsranla sonuçlanacak gibi bir his var içimde. Bu hissin sebebi
şu: kişiler ilerledikçe rastgele seçilen n kart arasında diğerlerinin
kartlarından hiçbirinin olmaması olasılığı düşer. Mesela n. kişinin seçeceği
rastgele n kart arasında diğer n-1 kişin hiçbirinin kartının bulunmaması
olasılığı -bunu da bilmiyorum- bayağı düşüktür herhalde. Ama aklıma şöyle
birşey geldi: rastgele seçen bir kişinin seçtiği n kartın içinde illa da
diğer n kişinin kartının tamamının bulunmaması gerekmez belki: bazılarının
kartlarının bulunup bazılarının kartlarının bulunmaması da daha iyi bir
strateji olabilir toplamda... Falanca kişi rastgele n kart seçti diyelim. Bu
kişinin seçtiği n kartta kendi kartının bulunması olasılığı Temmuz
Erdaloğlu'nun stratejisindeki aynı kişinin kazanma olasılığından fazlaysa, o
zaman o kişi için daha iyi bir strateji bulduk demektir. Ama esas itibariyle
toplamdaki strateji bizim için önemli... Bazı olasılık hesaplamaları yapıp
bunları < işaretiyle bir eşitsizlik şeklinde yazıp bazı sayısal değerler
bulursak bu bahsettiğim stratejinin çöküp çökmeyeceğini görebiliriz. Belki
de anında görenler vardır, ben göremedim.. Yani indisi kaç/ne olan kişi,
rastgele mi seçecek/bir öncekinin zıttı mı seçecek, buna bu eşitsizlikler
yardımıyla ulaşabiliriz sanırım. Bu strateji iyiyse bile en iyisi olup
olmadığının kanıtı için ilave yorumlar gerekir tabii.
Yardım gelecektir diye düşünüyorum. Şu an için elimden gelen bu.
05.06.2007 tarihinde Temmuz Erdaloğlu <temmuz_er at yahoo.com > yazmış:
>
> Bence tam anlamıyla çözüm olmamakla birlikte şöyle bir çözüm
> düşünebilirler.
> Tek numaralalılar ilk n kartı seçer. Çift numaralalır da sonraki n kartı
> seçer.
> İlk başlayanın n/2n şansı var. Diğerine sıra geldiyse demek ki ilki doğru
> tercih yapmıştır. Bu durumda 2.sinin n/2n-1 şansı olur. Yani çift
> numaralıların şansı daha yüksek bu durumda.
> Sonuncusuna sıra geldiyse kesin kurtuldular demektir. Böyle bir paylaşım
> yapmadıkları durumda hiç tercih edilmeyen kartlar olabilir. Bu durumda kesin
> oyunu kaybederler.
>
> Kerem Altun yazmış:
>
> Bir de zaten sonsuz sayida kart varken, ilk tutuklu odadan hicbir zaman
> cikamaz, sira ikinci tutukluya gelmez yani.
>
> Kerem
>
>
> On 6/5/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com > wrote:
> >
> > Yok gibi duruyor. Kartlar bir kez dizildikten sonra bu tutuklularin
> > oyuna mudahale haklari yok. Bastan istedikleri kadar konussunlar, kartlari
> > dizdikten sonra herkes 1/2 olasilikla kendi numarasinin yazili oldugu karti
> > acacak. Bu esnada tutuklular iletisim kuramadiklarindan, her tutuklunun
> > kendi kartini acma olasiligi digerlerinden bagimsiz ve 1/2'dir diye
> > dusunuyorum.
> >
> > Hatta kral bir tutukluyu odadan cikarip digerini almadan once kartlarin
> > sirasini degistirebilir bile, kim nerden bilecek :) Degistirmese ne
> > farkeder, cunku odaya yeni girecek tutuklunun hicbir sekilde "a priori"
> > bilgisi olmayacak, ne kart dizilimi ne de baska birsey hakkinda.
> >
> > Kerem
> >
> >
> > On 6/5/07, ihsan y�fffffccel < ihsan_einstein at yahoo.com > wrote:
> >
> > > Bir arkadaşımın bana yonelttigi soruyu aktariyorum:
> > >
> > > ''
> > > Bulmaca ulkesinin krali kendisine isyan eden 2n kisiyi tutuklatiyor.
> > > Kral, iyi kalpliliginden, bunlara bir sans daha vermeye karar veriyor.
> > > Hepsine 1den 2n'e kadar birer numara veriyor. Bir odaya da 1'den 2n'e kadar
> > > kartlari rasgele kapali olarak sirayla dizdiriyor. Sonra 2n tutukludan her
> > > birisini sirayla odaya aliyor ve tutuklunun istedigi herhangi n karti
> > > (kartlarin yarisini) actiriyor. Eger tutuklunun actigi kartlar arasinda
> > > kendi numarasi olan kart yoksa, oyunu oracikta bitiriyor ve butun
> > > tutuklulari omur boyu hapse mahkum ediyor. Eger tutuklu dogru karti
> > > acabilirse onu odadan cikarip siradaki tutukluyu aliyor ve ayni islemi
> > > tekrarlatiyor. Sonucta 2n tutuklunun her birisi de kendi kartlarini
> > > acabilirse hepsi serbest kaliyor. Herhangi bir tanesi acamazsa, hepsi omur
> > > boyu hapsi boyluyor.
> > >
> > > Tutuklular kartlari actmaya basladiktan sonra birbirleriyle kesinlikle
> > > konusamazlar. Fakat, kralin bu oyunu oynatacagini onceden biliyorlar ve bir
> > > onceki gece kendi aralarinda konusup bir strateji belirleyebilirler.
> > > Tutuklularin serbest kalma sansini maksimize eden bir strateji bulabilir
> > > misiniz? n sonsuza giderken, tutuklularin serbest kalma sansinin 0'a
> > > gitmedigi bir strateji var midir? ''
> > >
> > >
> > > ihsan
> > >
> > > ------------------------------
> > > Yahoo! kullaniyor musunuz?
> > > Istenmeyen postadan biktiniz mi? Istenmeyen postadan en iyi korunma
> > > Yahoo! Posta'da
> > > http://tr.mail.yahoo.com
> > > _______________________________________________
> > > MD-sorular mailing list
> > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > >
> > >
> >
> ------------------------------
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing listMD-sorular at matematikdunyasi.orghttp://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
> --------------050709090902030603050206--
>
> ------------------------------
> Looking for a deal? Find great prices on flights and hotels<http://us.rd.yahoo.com/evt=47094/*http://farechase.yahoo.com/;_ylc=X3oDMTFicDJoNDllBF9TAzk3NDA3NTg5BHBvcwMxMwRzZWMDZ3JvdXBzBHNsawNlbWFpbC1uY20->with Yahoo! FareChase.
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
--
"..Hadi gel konuşalım/Sulanmış bir taşlığın serinliğinde/Akşam sefaları
içinde/.." Metin Altıok
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070605/b1a7625a/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi