[MD-sorular] Bulmaca seven kral(?)

Ali Ýlik aliilik at gmail.com
5 Haz 2007 Sal 17:57:09 EEST


"Bunu bir yerlerde okudum galiba."

Bu eklemeyi yapmalıyım. Arayıp bulamamıştım. Şimdi farkettim.
Åžurda okumuÅŸum:
http://www.alinesin.org/popular_math/O_0_4_dunyanin_en_zeki_insani_matematikcilere_karsi.doc


05.06.2007 tarihinde Ali İlik <aliilik at gmail.com> yazmış:
>
> Temmuz Erdaloğlu: "Tek numaralalılar ilk n kartı seçer. Çift numaralalır
> da sonraki n kartı seçer.
> İlk başlayanın n/2n şansı var. Diğerine sıra geldiyse demek ki ilki doğru
> tercih yapmıştır. Bu durumda 2.sinin n/2n-1 şansı olur. Yani çift
> numaralıların şansı daha yüksek bu durumda."
>
> İhsan Yücel: "Soru daha iyi anlasilsin diye 2 kisi oldugu durum icin bir
> strateji ornegi de verirsek. Yukaridaki  stratejiyi kullanirlarsa 1/4
> olasilikla serbest kaliyorlar. Fakat, "birinci kisi birinci karti, ikinci
> kisi ikinci karti acsin" stratejisi altinda 1/2 olasilikla serbest
> kaliyorlar! Cunku kartlar ya 1,2 ya da 2,1dir ve durumlardan ilkinde serbest
> kaliyorlar. "
>
> Yukarıdaki yorumların doğru olduğunu düşünüyorum. Temmuz Erdaloğlu'nun
> yaklaşımını birazcık daha genelleştirmeye (genelleşmedi, fantazi oldu
> sadece) ve biçimselleştirmeye (ki biçimselleştireyim derken batırdım galiba)
> ve oradan da daha iyi bir strateji olup olmadığından emin olmadığım bir
> düşünceyi ilginize sunacağım.
>
> İhsan Yücel'in yorumu Temmuz Erdaloğlu'nun yorumunun özel hali. İhsan'ın
> bu yorumu hemen İsmet Berkan'ın 7 sene önce yazdığı meşhur bir yazısını
> aklıma getirdi: http://www.radikal.com.tr/2000/08/06/yazarlar/ismber.shtml
>
> Geçen sene de aynı soruyu farklı bir hikayeyle anlatan bir yazı daha
> yazmış: http://www.radikal.com.tr/haber.php?haberno=191780
>
> Şu link de konuyla alakalı: http://www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_uc_kagit.doc
>
> Şu link de faydalı olabilir: http://www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_sapka_Problemi.doc
>
>
> Bu meşhur 1/2 vs 2/3 "seç bakalım" olasılık sorusunu aslında 100 tane
> kapıya genellersek insan anında ikna oluyor! İçlerinden yalnız ve yalnızca
> birinde hediye olan 100 kapıdan birini seçtik (kazanma şansımız 1/100) ve
> sunucu diğer 99 kapıdan 98'ini açtı diyelim. O zaman fikrimizi değiştirip
> diğer kapıyı seçersek kazanma şansımız (ilk seçtiğimiz kapıda hediye olmama
> şansı) 99/100 olur! Bunu bir yerlerde okudum galiba. Hatırlamıyorum. Güzel
> bir yorumdu. Zaten sunucu onca boş kapıyı açacak ve bize bıraktığı kapıda
> hediye olmayacak... Once boş kapıyı açarak bize kıyak yapıyor... Olasılık
> bilmese bile insanın hemen fikrini değiştiresi geliyor... Ama yine de
> duyuların, hislerin bazen yanıltıcı olabileceğini ve kanıt denen şeyin
> önemini hatırlayıp ana sorumuza geri döndüm bile.
>
> 2n tane kartı şöyle bir küme içinde yazalım: A={K_p | 1<=p<=2n}. Şimdi bu
> A kümemizi A_1={K_q | 1<=q<=n} ve A_2={K_r | n+1<=r<=2n} şeklinde 2'ye
> bölelim. Kartların ilk yarısı/son yarısı demek yerine böyle sembolize etmiş
> olduk.
>
> Şimdi Temmuz Eroğlu'nun yorumuna katılmakla beraber, aynı stratejiye belki
> daha dolambaçlı bir yoldan şöyle de ulaşabiliriz. (Olasılık sorularında hiç
> iyi değilimdir. Bu yol daha uzun olsa da paylaşıyorum. Çünkü belki buradan
> bir arkadaş farklı bir açı yakalayabilir.)
>
> Alttaki listede tercihler var. Sol taraftakiler kiÅŸileri, saÄŸdakiler ise
> hangi n'li grubunu -A_1'imi A_2'yi mi- seçtiklerini gösteriyor.
>
> Kişi             Seçtiği n tane kart
>
> 1. kişi      Özgür (İster A_1'i ister A_2'yi seçsin: seçtiğine A_i
> diyelim. Haliyle i ya 1 ya 2.)
> 2.   ıı        (i=1 ise i++, değilse i--) A_i (Yani bu kadar uzatmayıp
> şunu diyebilirdim: İlki istediğini seçecek ama 2. kişi diğerini...)
>                Çünkü (Temmuz Erdaloğlu'nun belirttiği gibi) 2. kişi de
> birinci kişinin seçtiği gurubu seçerse /ve 2.kişiye sıra geldiğinden
>                1.kişinin seçtiği grupta 1.kişinin kartı var demek
> olduğundan/ 2.kişinin kazanma olasılığı (n-1)/(2n-1) dir. Halbuki zıt
> grubu                     seçerse n/(2n)'dir. Demek ki zıt grubu seçmelidir.
> 3.   ıı       Özgür! Ne farkeder A_1'i veya A_2'yi seçse? Hiçbirşey! Çünkü
> zaten ilk iki kişinin seçtikleri gruplar zıt...
> 4.   ıı       3.kişinin seçtiğinin zıttı.
> 5.   ıı       Özgür! (A_1A_2A_1_A_2, A_1A_2A_2_A_1, A_2A_1A_2_A_1,
> A_2A_1A_1_A_2 durumlarından herbirinde A_l ve A_2'lerden eşit -2'şer adet
> var.
> 6.   ıı       5.kişi A_1'i seçtiyse A_2'yi, A_2'yi seçtiyse A_1'i seçsin.
>
> Böylelikle, h. kişiye K_h dersek,
>
> h tekse K_h özgürdür, K_(h+1) ise özgür değildir; K_h'ın seçtiğini
> "zıttını" -diğer grubu- seçmeli.
>
> Ahhh ahh.. Bir ÅŸeyi farkettim: Bu mazoÅŸistliÄŸe giriyor galiba zira bu
> sıralamayı tutuklular bir gün önceden aralarında kararlaştırmalı ve
> akıllarında tutmalılar. Zira bir sürü farklı sıralama var. A_1'leri bir
> kenara bırakırsak, MNMNMMMN değil mesela, ardışık olmak kaydıyla rastgele
> çift sayıda kart seçtiğinizde içindeki M ve N sayısı eşit olacak ve arka
> arkaya en fazla 2 tane M veya N gelebilecek... Åžu olur mesela: MNNMNMMN.
> (Toplam M ve N sayımız 2n...) Öyle kaç farklı sıralama var, hesaplanır
> herhalde...
>
> Ya da tutuklular matematikçi olup da -değişik bir sıralama/permütasyonla
> kart seçmek isteyip- fantazi yapmak istemiş de olabilirler.
>
> Ana yorumum şu: neden ilk kişi herhangi bir grubu seçip, diğeri zıttını
> seçtikten sonra 3. kişi A_1 veya A_2 den birini seçsin ki? Belki rastgele
> (karışık) n tane kart seçerse, seçtiği kartların içinde de ilk iki kişinin
> kartları yoksa kazanma olasılığı n/(2n-2) dir! Ki bu da daha iyi bir
> olasılık Temmuz Erdaloğlu'nun stratejisine göre (O durumda 3. kişinin
> kazanma olasılığı (n-1)/(2n-2)).
>
> Ama şöyle bir sıkıntı olabilir: 3.kişinin rastgele seçtiği n kart arasında
> ilk iki kişinin kartının bulunmaması olasılığı kaçtır? Bunu bilmiyorum.
> Hesaplamamız lazım. Biraz düşündüm ama bulamadım henüz. Bir arkadaş yardımcı
> olursa güzel olur.
>
> Ama bunun da -bazen (uygun indisli bir kişide) rastgele kart seçme
> stratejisi- hüsranla sonuçlanacak gibi bir his var içimde. Bu hissin sebebi
> şu: kişiler ilerledikçe rastgele seçilen n kart arasında diğerlerinin
> kartlarından hiçbirinin olmaması olasılığı düşer. Mesela n. kişinin seçeceği
> rastgele n kart arasında diğer n-1 kişin hiçbirinin kartının bulunmaması
> olasılığı -bunu da bilmiyorum- bayağı düşüktür herhalde. Ama aklıma şöyle
> birşey geldi: rastgele seçen bir kişinin seçtiği n kartın içinde illa da
> diğer n kişinin kartının tamamının bulunmaması gerekmez belki: bazılarının
> kartlarının bulunup bazılarının kartlarının bulunmaması da daha iyi bir
> strateji olabilir toplamda... Falanca kişi rastgele n kart seçti diyelim. Bu
> kişinin seçtiği n kartta kendi kartının bulunması olasılığı Temmuz
> Erdaloğlu'nun stratejisindeki aynı kişinin kazanma olasılığından fazlaysa, o
> zaman o kişi için daha iyi bir strateji bulduk demektir. Ama esas itibariyle
> toplamdaki strateji bizim için önemli... Bazı olasılık hesaplamaları yapıp
> bunları < işaretiyle bir eşitsizlik şeklinde yazıp bazı sayısal değerler
> bulursak bu bahsettiğim stratejinin çöküp çökmeyeceğini görebiliriz. Belki
> de anında görenler vardır, ben göremedim.. Yani indisi kaç/ne olan kişi,
> rastgele mi seçecek/bir öncekinin zıttı mı seçecek, buna bu eşitsizlikler
> yardımıyla ulaşabiliriz sanırım. Bu strateji iyiyse bile en iyisi olup
> olmadığının kanıtı için ilave yorumlar gerekir tabii.
>
> Yardım gelecektir diye düşünüyorum. Şu an için elimden gelen bu.
>
>
>
> 05.06.2007 tarihinde Temmuz Erdaloğlu <temmuz_er at yahoo.com > yazmış:
> >
> >  Bence tam anlamıyla çözüm olmamakla birlikte şöyle bir çözüm
> > düşünebilirler.
> > Tek numaralalılar ilk n kartı seçer. Çift numaralalır da sonraki n kartı
> > seçer.
> > İlk başlayanın n/2n şansı var. Diğerine sıra geldiyse demek ki ilki
> > doğru tercih yapmıştır. Bu durumda 2.sinin n/2n-1 şansı olur. Yani çift
> > numaralıların şansı daha yüksek bu durumda.
> > Sonuncusuna sıra geldiyse kesin kurtuldular demektir. Böyle bir paylaşım
> > yapmadıkları durumda hiç tercih edilmeyen kartlar olabilir. Bu durumda kesin
> > oyunu kaybederler.
> >
> > Kerem Altun yazmış:
> >
> > Bir de zaten sonsuz sayida kart varken, ilk tutuklu odadan hicbir zaman
> > cikamaz, sira ikinci tutukluya gelmez yani.
> >
> > Kerem
> >
> >
> > On 6/5/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com > wrote:
> > >
> > > Yok gibi duruyor. Kartlar bir kez dizildikten sonra bu tutuklularin
> > > oyuna mudahale haklari yok. Bastan istedikleri kadar konussunlar, kartlari
> > > dizdikten sonra herkes 1/2 olasilikla kendi numarasinin yazili oldugu karti
> > > acacak. Bu esnada tutuklular iletisim kuramadiklarindan, her tutuklunun
> > > kendi kartini acma olasiligi digerlerinden bagimsiz ve 1/2'dir diye
> > > dusunuyorum.
> > >
> > > Hatta kral bir tutukluyu odadan cikarip digerini almadan once
> > > kartlarin sirasini degistirebilir bile, kim nerden bilecek :) Degistirmese
> > > ne farkeder, cunku odaya yeni girecek tutuklunun hicbir sekilde "a priori"
> > > bilgisi olmayacak, ne kart dizilimi ne de baska birsey hakkinda.
> > >
> > > Kerem
> > >
> > >
> > >  On 6/5/07, ihsan y�fffffccel < ihsan_einstein at yahoo.com > wrote:
> > >
> > > >  Bir arkadaşımın bana yonelttigi soruyu aktariyorum:
> > > >
> > > > ''
> > > > Bulmaca ulkesinin krali kendisine isyan eden 2n kisiyi tutuklatiyor.
> > > > Kral, iyi kalpliliginden, bunlara bir sans daha vermeye karar veriyor.
> > > > Hepsine 1den 2n'e kadar birer numara veriyor. Bir odaya da 1'den 2n'e kadar
> > > > kartlari rasgele kapali olarak sirayla dizdiriyor. Sonra 2n tutukludan her
> > > > birisini sirayla odaya aliyor ve tutuklunun istedigi herhangi n karti
> > > > (kartlarin yarisini) actiriyor. Eger tutuklunun actigi kartlar arasinda
> > > > kendi numarasi olan kart yoksa, oyunu oracikta bitiriyor ve butun
> > > > tutuklulari omur boyu hapse mahkum ediyor. Eger tutuklu dogru karti
> > > > acabilirse onu odadan cikarip siradaki tutukluyu aliyor ve ayni islemi
> > > > tekrarlatiyor. Sonucta 2n tutuklunun her birisi de kendi kartlarini
> > > > acabilirse hepsi serbest kaliyor. Herhangi bir tanesi acamazsa, hepsi omur
> > > > boyu hapsi boyluyor.
> > > >
> > > > Tutuklular kartlari actmaya basladiktan sonra birbirleriyle
> > > > kesinlikle konusamazlar. Fakat, kralin bu oyunu oynatacagini onceden
> > > > biliyorlar ve bir onceki gece kendi aralarinda konusup bir strateji
> > > > belirleyebilirler. Tutuklularin serbest kalma sansini maksimize eden bir
> > > > strateji bulabilir misiniz? n sonsuza giderken, tutuklularin serbest kalma
> > > > sansinin 0'a gitmedigi bir strateji var midir? ''
> > > >
> > > >
> > > > ihsan
> > > >
> > > > ------------------------------
> > > > Yahoo! kullaniyor musunuz?
> > > > Istenmeyen postadan biktiniz mi? Istenmeyen postadan en iyi korunma
> > > > Yahoo! Posta'da
> > > > http://tr.mail.yahoo.com
> > > > _______________________________________________
> > > > MD-sorular mailing list
> > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > >
> > > >
> > >
> > ------------------------------
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing listMD-sorular at matematikdunyasi.orghttp://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
> > --------------050709090902030603050206--
> >
> >  ------------------------------
> > Looking for a deal? Find great prices on flights and hotels<http://us.rd.yahoo.com/evt=47094/*http://farechase.yahoo.com/;_ylc=X3oDMTFicDJoNDllBF9TAzk3NDA3NTg5BHBvcwMxMwRzZWMDZ3JvdXBzBHNsawNlbWFpbC1uY20->with Yahoo! FareChase.
> >
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
> --
> "..Hadi gel konuşalım/Sulanmış bir taşlığın serinliğinde/Akşam sefaları
> içinde/.." Metin Altıok




-- 
"..Hadi gel konuşalım/Sulanmış bir taşlığın serinliğinde/Akşam sefaları
içinde/.." Metin Altıok
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070605/3483bfb3/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi