[MD-sorular] yine oss

[ali nesin]

Gercekten tuhaf bir soru.

Yaniti bulmak kolay ama galiba oyle bir fonksiyon yok!

Bu arada: f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemini f(x) = x^2/2 fonksiyonu
sagliyor ama sonraki kosul bu fonksiyon tarafindan saglanmiyor.

 

Once yaniti bulalim (!):

f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0'dan f(0) = 0 cikar.

 

Dolayisiyla,

 lim f(h)/h = 3 
h --> 0
esitligi tam tamina f '(0) = 3 demektir.

y'yi sabit tutup f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemini x'e gore turevlersek,

f '(x+y) = f '(x) + y buluruz.

Burada x = 0, y = 1 alirsak da f '(1) = 3 + 1 = 4 bulunur.

 

Simdi de boyle bir fonksiyonun olamayacagini kanitlayayim!

Yukarda f '(x+y) = f '(x) + y bulmustuk. Bu her x ve y icin dogru. x'le
y'nin yerini degistirirsek, f '(x+y) = f '(y) + x buluruz.

Demek ki f '(x) + y = f '(y) + x. Burada y = 0 yapalim: f '(x) = 3 + x
buluruz. Integralini alirsak, bir c sabiti icin,

f(x) = x^2 + 3x + c cikar. Simdi f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemine
bakalim. Bu fonksiyon bu denklemi saglamiyor, c ne olursa olsun...

 

Belki de ben bir yerde yanlis yaptim.

 

Simdi eger yanlisim yoksa bu soru iptal olmali. Olmayan bir fonksiyonun
turevini soramazlar! 

 

Ali

 

 

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Tuesday, June 19, 2007 3:57 PM
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] yine oss

 

2007 OSS'nin matematik-2 testinin 14. sorusu, noktasina virgulune dokunmadan
aktariyorum:

Gercel sayilar kumesi uzerinde, tanimli ve turevlenebilir bir f fonksiyonu
icin

f(x+y) = f(x) + f(y) + xy

 lim f(h)/h = 3 
h --> 0

olduguna gore, f'(1) kactir?

Soru bir tuhaf, herhalde her x ve y icin ilk kosulun saglandigini soylemek
istiyor. Hangi her x ve y o da belli degil, tanim kumesi falan yok ortada.
(Bu satirlari yazarken aklima gelen bir soru: Z'de turevli fonksiyon olmaz
galiba da, rasyonellerde tanimli ve turevli fonksiyon olur mu?) 

Bu tip sorularin hep lise mufredati disinda oldugunu dusunmusumdur. Soruyu
okuyunca benim aklima ilk gelen ve esas sormak istedigim su: birinci kosulu
saglayan bir fonksiyonun varligini nereden biliyoruz? Ilginctir ki lisede de
aklima ilk bu geliyordu (zaten ben matematik yazmak istiyordum ilk
tercihime, yazdirmadilar :) ), ve bu sorumun yanitini ne lisede ne de baska
bir yerde bulamadim. Bununla ilgili bir teorem falan mi var? Yoksa soruda
oyle bir fonksiyonun oldugunu soyluyor diye inanacak miyiz? 

Sorunun cozumunu aramiyorum bu arada, f'nin R --> R ve birinci ifadenin her
x ve y icin gecerli oldugunu dusununce cikiyor birseyler. Ya da ben
yaniliyor muyum acaba, bunlari dusunmeden de mi cikiyor?

Kerem


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070619/aad77d8f/attachment.htm