[MD-sorular] yine oss

[zafer ercan]

Ben de kontrol ettim. Belirtilen ozellikleri saglayan fonksiyon yok.
Iptali kacinilmaz.

Ote taraftan bu sorunun iptaline MD'nin onculuk etmesi satis rekorlari
kirdirabilir. Firsat kacirilmamali...

Zafer Ercan

-------------------
> 
>
>Gercekten tuhaf bir soru.
>
>Yaniti bulmak kolay ama galiba oyle bir fonksiyon yok!
>
>Bu arada: f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemini f(x) = x^2/2
fonksiyonu
>sagliyor ama sonraki kosul bu fonksiyon tarafindan saglanmiyor.
>
> 
>
>Once yaniti bulalim (!):
>
>f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0'dan f(0) = 0 cikar.
>
> 
>
>Dolayisiyla,
>
> lim f(h)/h = 3 
>h --> 0
>esitligi tam tamina f '(0) = 3 demektir.
>
>y'yi sabit tutup f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemini x'e gore
turevlersek,
>
>f '(x+y) = f '(x) + y buluruz.
>
>Burada x = 0, y = 1 alirsak da f '(1) = 3 + 1 = 4 bulunur.
>
> 
>
>Simdi de boyle bir fonksiyonun olamayacagini kanitlayayim!
>
>Yukarda f '(x+y) = f '(x) + y bulmustuk. Bu her x ve y icin dogru.
x'le
>y'nin yerini degistirirsek, f '(x+y) = f '(y) + x buluruz.
>
>Demek ki f '(x) + y = f '(y) + x. Burada y = 0 yapalim: f '(x) = 3 +
x
>buluruz. Integralini alirsak, bir c sabiti icin,
>
>f(x) = x^2 + 3x + c cikar. Simdi f(x+y) = f(x) + f(y) + xy denklemine
>bakalim. Bu fonksiyon bu denklemi saglamiyor, c ne olursa olsun...
>
> 
>
>Belki de ben bir yerde yanlis yaptim.
>
> 
>
>Simdi eger yanlisim yoksa bu soru iptal olmali. Olmayan bir
fonksiyonun
>turevini soramazlar! 
>
> 
>
>Ali
>
> 
>
> 
>
> 
>
>  _____  
>
>From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
>[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem
Altun
>Sent: Tuesday, June 19, 2007 3:57 PM
>To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
>Subject: [MD-sorular] yine oss
>
> 
>
>2007 OSS'nin matematik-2 testinin 14. sorusu, noktasina virgulune
dokunmadan
>aktariyorum:
>
>Gercel sayilar kumesi uzerinde, tanimli ve turevlenebilir bir f
fonksiyonu
>icin
>
>f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
>
> lim f(h)/h = 3 
>h --> 0
>
>olduguna gore, f'(1) kactir?
>
>Soru bir tuhaf, herhalde her x ve y icin ilk kosulun saglandigini
soylemek
>istiyor. Hangi her x ve y o da belli degil, tanim kumesi falan yok
ortada.
>(Bu satirlari yazarken aklima gelen bir soru: Z'de turevli fonksiyon
olmaz
>galiba da, rasyonellerde tanimli ve turevli fonksiyon olur mu?) 
>
>Bu tip sorularin hep lise mufredati disinda oldugunu dusunmusumdur.
Soruyu
>okuyunca benim aklima ilk gelen ve esas sormak istedigim su: birinci
kosulu
>saglayan bir fonksiyonun varligini nereden biliyoruz? Ilginctir ki
lisede de
>aklima ilk bu geliyordu (zaten ben matematik yazmak istiyordum ilk
>tercihime, yazdirmadilar :) ), ve bu sorumun yanitini ne lisede ne de
baska
>bir yerde bulamadim. Bununla ilgili bir teorem falan mi var? Yoksa
soruda
>oyle bir fonksiyonun oldugunu soyluyor diye inanacak miyiz? 
>
>Sorunun cozumunu aramiyorum bu arada, f'nin R --> R ve birinci
ifadenin her
>x ve y icin gecerli oldugunu dusununce cikiyor birseyler. Ya da ben
>yaniliyor muyum acaba, bunlari dusunmeden de mi cikiyor?
>
>Kerem
>
>
>