[MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

ali nesin anesin at bilgi.edu.tr
19 Haz 2007 Sal 18:40:55 EEST


 

Toplama, cikarma ve bolme yapilabilen ve limit alinabilen her yerde turev
alinabilir. (Aciklamalar geliyor.) 

Yalniz 0'dan buyuk en kucuk sayi varsa, yani yapi discrete ise o zaman
(gorecegimiz uzere) her sey limit olabilir ve turevin manasi kalmaz.

Turevin tanimini gozden gecirelim.

Once reellerde calisalim.

f '(x) = lim_{h --> 0} (f(x+h) - f(x))/h.

Bu ne demektir? "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki,
her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman I(f(x+h) - f(x))/h - f
'(x)I < epsilon" demektir.

Boyle bir tumcenin anlamli olmasi icin ne gerekiyor? Bu asamada reelleri
unutuyoruz ve tanima anlam vermeye calisiyoruz.

f '(x) yerine g(x) yazalim ve sonda beliren Ix - yI mutlak degeri yerine
d(x, y) yazalim. O zaman turevin tanimi su hale gelir:

g(x), f(x)'in turevidir ancak ve ancak, epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir
delta > 0 vardir ki, her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman
d(f(x+h) - f(x))/h, g(x)) < epsilon.

 "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki, her h icin, eger
IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman d(f(x+h) - f(x))/h, g(x)) < epsilon"
tumcesinin anlamli oldugu her yerde turev vardir.

 

Devam ediyorum.

f fonksiyonu bir R kumesinden bir S kumesine gitsin. O zaman tanimin anlamli
olmasi icin g de R'den S'ye gitmek zorunda.

x + h'den sozettigimize gore R'de toplama olmali. 

f(x+h) - f(x))/h'den sozettigimize gore S'te toplama, cikarma ve bolme
olmali. Sagdan mi soldan mi bolecegiz tartismasi olmasin diye carpmanin
degismeli oldugunu varsaymakta yarar var.

d ise S x S kumesinden bir baska T kumesine gidebilir. 

epsilon T kumesinden secilmeli ve T kumesi sirali olmali, cunku "d(f(x+h) -
f(x))/h, g(x)) < epsilon" derken T kumesindeki elemanlari karsilastiriyoruz.

h, R'den secilmeli elbet. Ve IhI'den sozedildigine gore, IhI = max{h, -h}
olmali, yani R'de sadece toplama degil, cikarma, toplamanin etkisiz elemani
0 ve bir de siralama olmali.

Turevin varsa biricik oldugunu istemek simariklik olmaz. Eger R'nin 0'dan
buyuk en kucuk elemani varsa, o zaman delta'yi bu eleman olarak alirsaniz,
"IhI < delta ve h neq 0" kosulu hic saglanmadigindan, d(f(x+h) - f(x))/h,
g(x)) < epsilon esitsizligi her g icin saglanir ve hos olmaz. Dolayisiyla
R'deki siralamanin yogun olmasinda yarar var. Ornegin Z = R olmasin.

 

Boyle bakildiginda ve mutlak deger, d ve T en dogal bicimde secildiginde,
sozunu ettigin fonksiyonlarin turevleri vardir ve turevleri tahmin ettigin
gibidir. Ama Q pek ilginc degil. C daha ilginc bu kapsamda.

 

Ali

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Tuesday, June 19, 2007 6:02 PM
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

 

Soru yanlis manasinda yazmamistim zaten, ama tabii benim soruma da cevap
olmus oldu bu. Bir soru daha sormustum, unutulmasin diye tekrarlayayim:
rasyonel sayilarda tanimli fonksiyonlarda turev alinir mi?

Yani ornegin: 

a) f(x) = x^2 , f: Q --> Q

b) f(x) = sin(x) , f: Q --> R

fonksiyonlarinin her x \in Q icin turevi var midir?

Bana neden olmasin gibi geliyor ama ornegin son MD'de reel sayi dogrusu
uzerinde rasyonel sayilarin aralarinda delikler oldugunu gormustuk. Rasyonel
sayi dogrusu (reel sayi dogrusu varsa bu neden olmasin diye dusunuyorum)
uzerinde delik yok ama galiba?? 

Simdi aklima gelen bir soru daha: f:Q --> Q bir fonksiyonsa f ' :Q --> Q bir
fonksiyon olmayabilir mi?

Kerem




-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070619/a8bc302e/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi