[MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

[ali nesin]

Kompleks sayilar kume olarak siralanabilir ama sirali halka olacak bicimde
siralanamaz, yani siralama toplamaya ve pozitif elemanla carpmaya saygi
duyamaz.

 

Her kume siralanabilir, hem de iyisiralanabilir. Bkz. MD'nin Secim Aksiyomu
ozel sayisi, 2006 yilinda cikti ama numarasini unuttum. Ama siralamaya
ekstra ozellikler eklemek isterseniz cuvallarsiniz, komplekslerde oldugu
gibi.

 

Sirali her halkada 0 > -1 ve x^2 > 0'dir. Dolayisiyla kompleksler sirali
halka olabilseydi -1 = i^2 > 0 > -1 olurdu, sacma!

 

Turevin verdigim taniminda IhI = max{h, -h} almistim. Daha guzeli ve geneli
var. Mutlak deger R'den sirali bir baska kumeye gitsin, delta da o kumeden
secilsin. Ornegin R = C ise, mutlak deger bildigimiz modulus olsun.

 

Ali

 

  _____  

From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Wednesday, June 20, 2007 2:48 PM
To: ali nesin; MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

 

C fonksiyonun tanim kumesi olarak mi daha ilginc? Eger oyleyse turev
tanimini degistirmek gerek biraz galiba, cunku:

"h, R'den secilmeli elbet. Ve IhI'den sozedildigine gore, IhI = max{h, -h}
olmali, yani R'de sadece toplama degil, cikarma, toplamanin etkisiz elemani
0 ve bir de siralama olmali."


Fonksiyonun tanim kumesine R demistik. Elbette ki h'yi de R'den secmek
gerek, ama kompleks sayilar siralanamaz. Yani MD'de oyle yaziyordu, ben
anlamamistim o teoremi. Bal gibi de siralayabiliriz bence, sayiyi kutupsal
koordinatlarda (r,teta) diye yazip alfabetik siralama yapsak olmuyor mu? 

Kompleks analize benzer bir dersin muhendislere verilen versiyonunu almistim
seneler once, turev tanimi boyle degildi zaten.

Kerem



On 6/19/07, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:

 

Toplama, cikarma ve bolme yapilabilen ve limit alinabilen her yerde turev
alinabilir. (Aciklamalar geliyor.) 

Yalniz 0'dan buyuk en kucuk sayi varsa, yani yapi discrete ise o zaman
(gorecegimiz uzere) her sey limit olabilir ve turevin manasi kalmaz.

Turevin tanimini gozden gecirelim.

Once reellerde calisalim.

f '(x) = lim_{h --> 0} (f(x+h) - f(x))/h.

Bu ne demektir? "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki,
her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman I(f(x+h) - f(x))/h - f
'(x)I < epsilon" demektir.

Boyle bir tumcenin anlamli olmasi icin ne gerekiyor? Bu asamada reelleri
unutuyoruz ve tanima anlam vermeye calisiyoruz.

f '(x) yerine g(x) yazalim ve sonda beliren Ix - yI mutlak degeri yerine
d(x, y) yazalim. O zaman turevin tanimi su hale gelir:

g(x), f(x)'in turevidir ancak ve ancak, epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir
delta > 0 vardir ki, her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman
d(f(x+h) - f(x))/h, g(x)) < epsilon.

 "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki, her h icin, eger
IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman d(f(x+h) - f(x))/h, g(x)) < epsilon"
tumcesinin anlamli oldugu her yerde turev vardir.

 

Devam ediyorum.

f fonksiyonu bir R kumesinden bir S kumesine gitsin. O zaman tanimin anlamli
olmasi icin g de R'den S'ye gitmek zorunda.

x + h'den sozettigimize gore R'de toplama olmali. 

f(x+h) - f(x))/h'den sozettigimize gore S'te toplama, cikarma ve bolme
olmali. Sagdan mi soldan mi bolecegiz tartismasi olmasin diye carpmanin
degismeli oldugunu varsaymakta yarar var.

d ise S x S kumesinden bir baska T kumesine gidebilir. 

epsilon T kumesinden secilmeli ve T kumesi sirali olmali, cunku "d(f(x+h) -
f(x))/h, g(x)) < epsilon" derken T kumesindeki elemanlari karsilastiriyoruz.

h, R'den secilmeli elbet. Ve IhI'den sozedildigine gore, IhI = max{h, -h}
olmali, yani R'de sadece toplama degil, cikarma, toplamanin etkisiz elemani
0 ve bir de siralama olmali.

Turevin varsa biricik oldugunu istemek simariklik olmaz. Eger R'nin 0'dan
buyuk en kucuk elemani varsa, o zaman delta'yi bu eleman olarak alirsaniz,
"IhI < delta ve h neq 0" kosulu hic saglanmadigindan, d(f(x+h) - f(x))/h,
g(x)) < epsilon esitsizligi her g icin saglanir ve hos olmaz. Dolayisiyla
R'deki siralamanin yogun olmasinda yarar var. Ornegin Z = R olmasin.

 

Boyle bakildiginda ve mutlak deger, d ve T en dogal bicimde secildiginde,
sozunu ettigin fonksiyonlarin turevleri vardir ve turevleri tahmin ettigin
gibidir. Ama Q pek ilginc degil. C daha ilginc bu kapsamda.

 

Ali

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Tuesday, June 19, 2007 6:02 PM
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

 

Soru yanlis manasinda yazmamistim zaten, ama tabii benim soruma da cevap
olmus oldu bu. Bir soru daha sormustum, unutulmasin diye tekrarlayayim:
rasyonel sayilarda tanimli fonksiyonlarda turev alinir mi?

Yani ornegin: 

a) f(x) = x^2 , f: Q --> Q

b) f(x) = sin(x) , f: Q --> R

fonksiyonlarinin her x \in Q icin turevi var midir?

Bana neden olmasin gibi geliyor ama ornegin son MD'de reel sayi dogrusu
uzerinde rasyonel sayilarin aralarinda delikler oldugunu gormustuk. Rasyonel
sayi dogrusu (reel sayi dogrusu varsa bu neden olmasin diye dusunuyorum)
uzerinde delik yok ama galiba?? 

Simdi aklima gelen bir soru daha: f:Q --> Q bir fonksiyonsa f ' :Q --> Q bir
fonksiyon olmayabilir mi?

Kerem



 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070620/d29af6a3/attachment.htm