[MD-sorular] Tamkare Grup.

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
3 Mar 2007 Cmt 22:21:19 EET


Muhteşem. (ama tam değil, bakınız mesajın en sonu)

H her elemanın k. kuvvet olduğu sonlu değişmeli bir grup olsun.
H_0 = {e} altgrubu olsun. H_0'ın eleman sayısı 1, bu da k'ye asal.
Ayrıca H_0, k. kök alma altında kapalı.
H_(r+1) = <H_r ; a_r> = {x(a_r)^n : x € H_r ve 0 =< n < h_r} diye tanımlayalım.
Burada h_r sayısı a_r'nin H_r'ye düşen en küçük kuvveti oluyor.
H abelyen olduğundan H_r'ler H'nin birer altgrubu oluyorlar ve |H_(r +
1)| / |H_r| = h_r. İkincisinin doğru olması da x(a_r)^l = y(a_r)^m ise
xy^-1 = (a_r)^(l - m) olmasından kaynaklanıyor. Oysa bu eşitlik ancak
x = y dolayısıyla l = m iken sağlanabilir.
Yani H_0 < H_1 <..... < H_m = H. Her biri diğerinin bir altgrubu.
Şimdi tüm h_r'lerin k'ye asal olduğunu kanıtlamaya geldi sıra, çünkü
|H| = h_0h_1... h_(m - 1).
Kanıt tümevarımla, yani H_r'nin k. kök alma altında kapalı bir küme
olduğunu ve |H_r|'nin k'ye asal olduğunu varsayıyoruz.
Eğer (h_r, k) = d > 1 olsaydı o zaman bir t doğal sayısı için
(a_r)^h_r = (a_r)^dt € H_r. Ancak H_r'nin her elemanı bir k. kuvvet.
Yani bir b € H_r için (a_r)^dt = b^k = b^dt'. H_r kümesi k. kök alma
altında kapalı olduğundan doğal olarak d. kök alma altında da
kapalıdır. Bu da (a_r)^t = b^t € H_r anlamına gelir. Ancak h_r'nin bu
özelliği sağlayan en küçük sayı olması gerekiyordu. Demek ki (h_r, k)
= 1.

Yani |H_(k + 1)| = h_r * |H_k| sayısı k'ye asal.
Ayrıca H_(k+1)'in herhangi bir elemanı x * a^l şeklinde yazılabilir. x
€ H_k olduğundan öyle bir y€ H_k var ki y^k = x. Ayrıca (h_k, k) = 1
olduğundan bir t tamsayısı için h_k * t + l  sayısı k'nin bir katı
oluyor. Grup abelyen olduğundan bu da H_k+1 içerisinde aldığımız tipik
elemanın k. kökü olduğunu söylüyor.

Tersi olarak da eğer H'nin eleman sayısı k'ye asalsa o zaman biraz
yukarıda kuduğumuz H_r kümelerinin hepsi k. kök alma altında
kapalıdır, son argümandan dolayı.

Yalnız bu bilgileri tüm gruba geçiremedim. Yani eğer bir grubun k'ya
asal sayıda elemanı varsa o zaman tamam, H = Z(C_G(a)), G'nin altgrubu
olduğundan onun da k'ye asal eleman sayısı olacaktır ve abelyen
olacaktır o yüzden H'nin içinde a'nın bir k. kökünü bulacağız.
Ama ya tersi? Her elemanın k. kökü varsa neden |G| k'ye asal olsun ki?

Çok uzun oldu, sanki biraz da çirkinleşti bu yüzden, kafamdaki daha güzeldi.

2007/3/3, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
>
> Evet!
> G yerine, herhangi bir x elemani icin, bunu Z(C_G(x)) grubu icin kanitlamak yeterli. Bu da abelyen oldugu icin kolay.
> Ali
>
> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet Kıral
> Sent: Saturday, March 03, 2007 1:56 PM
> To: matematik dünyası
> Subject: [MD-sorular] Tamkare Grup.
>
> G sonlu bir grup olsun.
> |G|'nin tek olması ile G'nin her elemanının bir kare olmasının (yani
> her g € G için öyle bir h € G vardır ki h^2 = g) denk olduğunu
> kanıtlayabilir misiniz?
>
> Cabası: Eğer grubun her elemanı bir k. kuvvet ise o zaman G'nin eleman
> sayısını k'ye asal ... mış.
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
>
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi