[MD-sorular] Tamkare Grup.

[erkan karakaya]

Vaktim olmadığımdan son mesajına bakamadım, ama ben sorduğun ilk sorunun
ispatının diğer yönünü de yazayım.

|G| = n demiÅŸtik.

G' deki her elemanın G' de bir tam kare olduğunu varsayalım (#)
ve çelişki elde etmek için n' nin çift olduğunu kabul edelim, n = 2k
diyelim.

G çift mertebeli olduğundan, G' de 2 mertebeli en az bir elemanın olması
gerektiğini biliyoruz. Şimdi biz, (#) varsayımını kullanarak G' de 2
mertebeli eleman olamayacağını göstereceğiz, bu da çelişkiye neden olacak.

Şimdi, G' nin, e' den farklı herhangi bir g elemanını alalım. f: G --> G,
f(x)=x^2 fonksiyonu, # varsayımı gereği örtendir ve G sonlu olduğundan, f
1-1 dir. Demek ki f bir (sonlu) permutasyon. Öyleyse "f^n = birim fonksiyon"
olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır.

 (Bkz: Every permutation f has the property that there is some integer N>0,
which depends on f, such that f^N = 1,
http://web.usna.navy.mil/~wdj/sm485_2.txt )

Özel olarak, f^n (g) = g, yani g^(2^n) = g, dolayısıyla g^(2^n - 1)=e; demek
ki, e' den farklı olan g' nin bir tek kuvveti e' yi veriyor; bu ise g' nin 2
mertebeli olamayacağı anlamına gelir. Bu da zaten istediğimiz çelişkiydi.

2007/3/3, E. Mehmet Kıral < luzumi at gmail.com>:
>
> Muhteşem. (ama tam değil, bakınız mesajın en sonu)
>
> H her elemanın k. kuvvet olduğu sonlu değişmeli bir grup olsun.
> H_0 = {e} altgrubu olsun. H_0'ın eleman sayısı 1, bu da k'ye asal.
> Ayrıca H_0, k. kök alma altında kapalı.
> H_(r+1) = <H_r ; a_r> = {x(a_r)^n : x € H_r ve 0 =< n < h_r} diye
> tanımlayalım.
> Burada h_r sayısı a_r'nin H_r'ye düşen en küçük kuvveti oluyor.
> H abelyen olduÄŸundan H_r'ler H'nin birer altgrubu oluyorlar ve |H_(r +
> 1)| / |H_r| = h_r. İkincisinin doğru olması da x(a_r)^l = y(a_r)^m ise
> xy^-1 = (a_r)^(l - m) olmasından kaynaklanıyor. Oysa bu eşitlik ancak
> x = y dolayısıyla l = m iken sağlanabilir.
> Yani H_0 < H_1 <..... < H_m = H. Her biri diÄŸerinin bir altgrubu.
> Şimdi tüm h_r'lerin k'ye asal olduğunu kanıtlamaya geldi sıra, çünkü
> |H| = h_0h_1... h_(m - 1).
> Kanıt tümevarımla, yani H_r'nin k. kök alma altında kapalı bir küme
> olduğunu ve |H_r|'nin k'ye asal olduğunu varsayıyoruz.
> Eğer (h_r, k) = d > 1 olsaydı o zaman bir t doğal sayısı için
> (a_r)^h_r = (a_r)^dt € H_r. Ancak H_r'nin her elemanı bir k. kuvvet.
> Yani bir b € H_r için (a_r)^dt = b^k = b^dt'. H_r kümesi k. kök alma
> altında kapalı olduğundan doğal olarak d. kök alma altında da
> kapalıdır. Bu da (a_r)^t = b^t € H_r anlamına gelir. Ancak h_r'nin bu
> özelliği sağlayan en küçük sayı olması gerekiyordu. Demek ki (h_r, k)
> = 1.
>
> Yani |H_(k + 1)| = h_r * |H_k| sayısı k'ye asal.
> Ayrıca H_(k+1)'in herhangi bir elemanı x * a^l şeklinde yazılabilir. x
> € H_k olduğundan öyle bir y€ H_k var ki y^k = x. Ayrıca (h_k, k) = 1
> olduğundan bir t tamsayısı için h_k * t + l  sayısı k'nin bir katı
> oluyor. Grup abelyen olduğundan bu da H_k+1 içerisinde aldığımız tipik
> elemanın k. kökü olduğunu söylüyor.
>
> Tersi olarak da eğer H'nin eleman sayısı k'ye asalsa o zaman biraz
> yukarıda kuduğumuz H_r kümelerinin hepsi k. kök alma altında
> kapalıdır, son argümandan dolayı.
>
> Yalnız bu bilgileri tüm gruba geçiremedim. Yani eğer bir grubun k'ya
> asal sayıda elemanı varsa o zaman tamam, H = Z(C_G(a)), G'nin altgrubu
> olduğundan onun da k'ye asal eleman sayısı olacaktır ve abelyen
> olacaktır o yüzden H'nin içinde a'nın bir k. kökünü bulacağız.
> Ama ya tersi? Her elemanın k. kökü varsa neden |G| k'ye asal olsun ki?
>
> Çok uzun oldu, sanki biraz da çirkinleşti bu yüzden, kafamdaki daha
> güzeldi.
>
> 2007/3/3, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> >
> > Evet!
> > G yerine, herhangi bir x elemani icin, bunu Z(C_G(x)) grubu icin
> kanitlamak yeterli. Bu da abelyen oldugu icin kolay.
> > Ali
> >
> > -----Original Message-----
> > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org]
> On Behalf Of E. Mehmet Kıral
> > Sent: Saturday, March 03, 2007 1:56 PM
> > To: matematik dünyası
> > Subject: [MD-sorular] Tamkare Grup.
> >
> > G sonlu bir grup olsun.
> > |G|'nin tek olması ile G'nin her elemanının bir kare olmasının (yani
> > her g € G için öyle bir h € G vardır ki h^2 = g) denk olduğunu
> > kanıtlayabilir misiniz?
> >
> > Cabası: Eğer grubun her elemanı bir k. kuvvet ise o zaman G'nin eleman
> > sayısını k'ye asal ... mış.
> >
> > --
> > I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> > Plato.
> >
> >
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
Gülmek icin mutlu olmayı bekleme; belki mutluluk gülüşünde saklıdır. Sakın
ağlayayım deme; bil ki bi yerlerde senin bir tek gülüşün için yaşayan
vardir.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070304/f539f44c/attachment.htm