[MD-sorular] Bir "paradoks"

[ali nesin]

Ikinci sinif ogrencilerimle yaptigim cebir dersinde soyle bir "paradoks"a
rastladik.

 

K sonsuz bir cisim olsun.

n > 1 pozitif bir dogal sayi olsun.

V = K^n olsun.

 

M_n(K), n x n boyutlu matrisler olsun. Bu bir halkadir elbet.

 

End_K(V), V'nin K-vektor uzayi olarak endomorfizmalarinin kumesi olsun. Bu
da bir halkadir.

 

Bilindigi gibi M_n(K) ve End_K(V) halkalari izomorfturlar. (V'nin her tabani
bir baska izomorfizma verir.)

 

M_n(K)'nin sol idealleri, sutun matrisler tarafindan verilir: Belli
sutunlari K'nin her turlu elemaniyla doldur, diger sutunlara sadece 0 yaz.
Yani M_n(K)'nin tam 2^n tane sol ideali vardir. Bunun kaniti oldukca
kolaydir. Basit matris carpimina dayanir.

 

Simdi V'nin her W altuzayi icin, E(W) = {f in End_K(V): f(W) = 0} olsun.
Kolayca gorulecegi uzere, E(W), End_K(V)'nin bir sol idealidir. Her degisik
W icin elbette degisik E(W) bulunur, bunun da kaniti kolay. Dolayisiyla
End_K(V)'nin sonsuz tane sol ideali vardir.

 

Iki izomorf halka var. Birinin 2^n tane sol ideali var, digerinin ise sonsuz
tane...

 

Hata nerde?

 

Ali

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070331/60095f19/attachment.htm