[MD-sorular] (konu yok)

[E. Mehmet Kıral]

Boyutun ne olduğuna en kolaya kaçmacı yanıt şu olur herhalde.
Bir vektör uzayının bir bazının, yani lineer bağımsız ve uzayı geren
bir kümenin, eleman sayısı vektör uzayının boyutu olarak tanımlanır.

Ancak bu tanım şöyle bir sorun içermekte. Hissettiğimiz boyut
kavramının toplamayla falan alakası yok. Ya da en azından biz (belki
de sadece ben) öyle düşünüyoruz. Boyut safi uzamsal bir kavram. O
zaman vektör uzayının yapısından bağımsız olarak da bir boyut kavramı
tanımlanabilmeli.

Bunun için yapılabilecek bir şey vardır. Boyutlarını "bildiğimiz"
uzaylarda boyuta eşit olan bazı şeyler yazar ve sonra genel topolojik
uzay için (eğer bu eşitlikler sadece açık kümeleri içeriyorsa örneğin)
bunu boyutun tanımı olarak veririz.

Örneğin Lebesgue kaplama boyutu şöyle tanımlanır: N boyutlu uzaylarda
(Bir topolojik uzayın N boyutlu olmasını burada tanımlıyoruz) herhangi
bir açık kaplamayı öyle inceltebiliriz ki (yani yeni açık kümeler
alıyoruz ve buradaki her açık küme bir önceki örtüdeki bir açık
kümenin altkümesi) ehr nokta en fazla N + 1 tane küme tarafından
kaplansın.

Bu R^N'de geçerli olan bir teorem(miş). Demek ki makul bir boyut
tanımı. Doğruda geçerli olduğu bariz sanırım. Herhangi bir açık
örtmemiz olsun, ve bir a noktası alalım. a'yı içeren açık aralıklardan
en küçük altsınırı olanı aynen tutup, diğerlerini altsınırları a
olacak şekilde küçültelim. Benzer bir şeyi üstsınır için de yapalım.
Şimdi elde ettiğimiz açık kümeler ilk örtünün inceltilmişi (yukarıda
tanımlanan haliyle) olur ve a noktasını sadece iki açık küme içerir.
Demek ki doğrunun Lebesgue örtme boyutu 1 imiş. (içime su serpildi).

SORU: R^N'nin Lebesgue örtme boyutunun N olduğunu gösterebilir
misiniz? (Tüm N'ler için en makbulü olur herhalde ama N = 2 ya da 3
için de yanıtlarsanız çok hoş olur.)

Daha başka boyut tanımları da varmış (ufak bir wikipedia gezisi bunu
söyler) ve bu tanımlarda tüm pozitif sayılar bir uzayın boyutu
olabilmektedirler. Tabii bu tanımlarda da bildiğimiz uzaylar
bildiğimiz boyutlarına haizler, yoksa bir genelleme olmazdı.

2007/5/9, Ali İlik <aliilik at gmail.com>:
> Daha önceden sorulmuş bir soru.
>
> Listenin arşivlerini arayın.
>
> Ali
> 09.05.2007 tarihinde ÖMER RENÇBER <omerren27 at gmail.com> yazmış:
> >
> >
> > Mrb arkadaşlar benim şöyle bir sorum olacak
> >
> > Boyut dediğimiz şey ne
> >
> > sadece tam sayı olması gerekiyor peki neden rasyonel dereceden boyut
> olmuyor??
> >
> > Ayrıca mesela biz 3 boyutlu bir düzlemde x,y,z eksenlerinin birisini 0
> alarak 2 boyutluya dönüştürebiliyoruz veya öyle gösterebiliyoruz
> >
> > o halde bir n sayısı alıp n-3 tanesini 0 alıp 3 boyutlu düzlem
> oluşturuyoruz
> >
> > bu doğrumu sizce
> >
> > Teşekkür Ederim...
> >
> > --
> > Ömer Faruk RENÇBER
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
>
> --
> Ali
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.