[MD-sorular] matris carpimi

ali nesin anesin at bilgi.edu.tr
14 Mayıs 2007 Pzt 02:26:19 EEST


 

1) AX = XA denklemini saglayan X matrisleri (bu kumeye C(A) diyelim) sadece
carpma altinda kapali degildir, ayrica bir vektor uzayi da olustururlar.
Yani AX = XA ve AY = YA ise ve x ve y gercel sayilarsa, o zaman A(xX + yY) =
(xX + yY)A dir. Bu vektor uzaylarinin bir boyut vardir elbet. Bu boyut da en
faza n^2 olabilir. Cisim cebirsel kapaliyken boyutun cogu zaman n oldugunu
soyluyorum ve aciklamaya calisiyorum.. (Ali Ilik'in alintiladigi web
sitesinden esinlenerek.)

 

2) Eger tersinir bir P matrisi icin B = P^{-1}AP ise, bu iki matrise denk
diyelim.

Eger A ve B matrisleri denk ise XA = AX esitligini saglayan matrislerle XB =
BX esitligini saglayan matrisler arasinda buyuk bir fark yoktur, bu
matrisler de birbirlerine denktirler: A ile degisen matrisler bulundugunda P
yardimiyla digerleri de bulunur: C(B) = P^{-1}A(B)P.

 

3) Her matris diagonal bir matrise denk degildir. Ornegin 

cos a sin b

-sinb  cos a

matrisleri sadece a = pi ve 2pi icin diagonal bir matrise (R uzerine)
denktir.

 

4) Eger matrislerin katsayilarinin yazildigi cismi genisletirsek, bir
matrisi diagonal bir matrise denklestirme olasiligimiz artar. Ornegin,
yukardaki matrislerin her biri C (kompleks sayilar) uzerine diagonal bir
matrise denktir (cunku bu matrislerin iki degisik eigenvalue'lari vardir.)
Olasilik artar ama yuzde yuz olmaz. Ote yandan, cismi cebirsel kapali
yaparsak (yani 0 olmayan her polinomun bu cisim uzerine bir koku varsa, C
gibi) o zaman bir matris diagonal bir matrise denk degilse de, diagonale cok
benzeyen ve adina Jordan Canonical Form denen bir matrise denktir. Jordan
Canonical Form'daki matrislerin diagonalinin alti 0 olur. Diagonalinin hemen
ustunde de ya 0 ya da 1 vardir, eger iki ardisik diagonal katsayi esit
degilse bu iki katsayiya komsu katsayilar kesinlikle 0 olur, diagonalin daha
ustunde ise sadece 0 vardir. Daha fazla ayrintiya girmiyorum. Ama Jordan
Canonical Form cok cok cok onemlidir lineer cebirde. Su matrise benzerler:

a 1 0 0 0 0 0

0 a 0 0 0 0 0

0 0 b 1 0 0 0

0 0 0 b 1 0 0

0 0 0 0 b 0 0

0 0 0 0 0 c 1

0 0 0 0 0 0 c

 

5) "Hemen hemen" her matrisin Jordan Canonical Form'u diagonaldir. Yani
soyledir:

a 0 0 0

0 b 0 0

0 0 c 0

0 0 0 d

Hatta daha fazlasi dogru: "Hemen hemen" her matrisin n degisik eigenvalue'su
vardir (yani yukardaki ornekteki a, b, c, d degisik sayilardir.)

Burada "hemen hemen" Zariski anlaminda "generic" demek. Bunun ne demek
oldugunu burada anlatamam. Asagi yukari, "olasilik yuzde yuz" gibi bir sey
olarak algilayin. Yani rastgele bir matris secerseniz bunun Jordan Canonical
Formu'nun diagonal olma "olasiligi" yuzde yuzdur...

 

6) Diagonal katsayilari birbirinden degisik olan A matrisleriyle degisen
matrisleri bulmak cok kolaydir; basit bir cebirsel islem: Bunlar da diagonal
matrislerdir. Demek ki bu durumda C(A)'nin boyutu n'dir. Yani cebirsel
kapali bir cisim uzerine nxn boyutlu rastgele bir A matrisi icin C(A) vektor
uzayinin boyutu n'dir.

 

7) Benzer arguman eminim cisim cebirsel kapali degilse de yapilabilir cogu
zaman.

 

8) Ilginc bir problem: Cisim sonluyken, diyelim q elemani varken, bir i
verilmis ise, kac A matrisinin q^i tane elemani vardir?

 

Ali

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali İlik
Sent: Monday, May 14, 2007 1:32 AM
To: Kerem Altun
Cc: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] matris carpimi

 

"Ornegin A ve B nonsingular oldugu verilmis ise, belli bir A icin AB=BA
kosulunu saglayan bir tane mi B=A^-1 vardir, yoksa baska B'ler de saglar mi?
"

 

A nın tüm güçleri iş görür. 0 matrisinden farklı (B nonsingular çünkü)
skaler herhangi bir matris de iş görür.

 

"- Sadece A nonsingular denmis ise AB=BA kosulunu saglayan A'nin tersinden
baska B matrisleri de var midir?"

 

A nın tüm güçleri iş görür. 0 matrisi dahil skaler herhangi bir matris de iş
görür.

 

"AB=BA olmasi icin gerek ve yeter bir kosul var midir? Varsa nedir, yoksa
olmadigini gosterebilir miyiz?"

 

Gerek ve yeter şart zor olsa gerek... (Ali Hoca'nın dediğini bilmiyorum.
Jordan Canonical form... Öğrenmem lazım.) AB=BA aslında bir gerek ve yeter
şarttır (p<=>p önermesi bir teoremdir.) ama onu aramıyosun herhalde... Yeter
şartlar için bazı linkler: 

 

http://math.arizona.edu/~weeklynews/poster.html?id=663 (Mail atıp döküman
istedim, yollarsa buraya da atarım.)

http://www.math.nus.edu.sg/~matlhh/UROPS/reports/Unitary_Similarities.pdf
(Section 2.4 de bir şeyler var.)

https://nrich.maths.org/discus/messages/114352/114642.html?1164226671 (A+tI
ya ve son mesaja dikkat. )

 

Ali Hoca'nın "AB = BA esitligini saglayan B matrisleri carpma altinda
kapalidir." ifadesinin nedenini düşündüm. Şu şekilde yaptım. Doğru mu? [
Hatta kapalılıktan ziyade 3. linkte David demiş ki: " For "most" n x n
matrices A, the matrices B commuting with A form an n-dimensional subspace V
of the (n2-dimensional) space of matrices. (I won't go into what "most"
means here.) " ] (Eh kapalılıktan sonra bu da aşikar...)

 

"AB = BA esitligini saglayan B matrisleri carpma altinda kapalidir." demek
AB=BA ve AC=CA ise A(BC)=(BC)A dir demektir.

 

Nitekim de öyledir çünkü A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A


 

13.05.2007 tarihinde Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com > yazmış: 

A ve B iki kare matris olsun, ayni boyutlu.

AB=BA olmasi icin gerek ve yeter bir kosul var midir? Varsa nedir, yoksa
olmadigini gosterebilir miyiz? 

Eger yoksa, baska sorularim da olabilir. 

- Ornegin A ve B nonsingular oldugu verilmis ise, belli bir A icin AB=BA
kosulunu saglayan bir tane mi B=A^-1 vardir, yoksa baska B'ler de saglar mi?


- Sadece A nonsingular denmis ise AB=BA kosulunu saglayan A'nin tersinden
baska B matrisleri de var midir? 

Ben cok dusundum ama hicbirinin yanitini bulamadim.

Kerem


_______________________________________________
MD-sorular mailing list
MD-sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
<http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular> 




-- 
Ali İlik
Student Asistant, Department of Mathematics, Uludag University/Turkey. 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070514/d4028300/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi