[MD-sorular] matris carpimi

Ali İlik aliilik at gmail.com
14 Mayıs 2007 Pzt 02:59:34 EEST


Offff.. Ağzım açık kaldı. Gecenin bu saatinde böyle detaylı bir açıklama çok
güzel oldu.

Büyük bir hazine oldu Ali Nesin'in bu maili listeye ve falanca zaman sonra
bu listeden arama yapacaklar için.

Çok çok çok teşekkür...

Başta "AB=BA ymış ne olacak; tanım uygulanır ve yanıt çıkar." diye
düşünmüştüm. Meğer nelerle alakalıymış...

Ali


14.05.2007 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> yazmış:
>
>
>
> 1) AX = XA denklemini saglayan X matrisleri (bu kumeye C(A) diyelim)
> sadece carpma altinda kapali degildir, ayrica bir vektor uzayi da
> olustururlar. Yani AX = XA ve AY = YA ise ve x ve y gercel sayilarsa, o
> zaman A(xX + yY) = (xX + yY)A dir. Bu vektor uzaylarinin bir boyut vardir
> elbet. Bu boyut da en faza n^2 olabilir. Cisim cebirsel kapaliyken boyutun
> cogu zaman n oldugunu soyluyorum ve aciklamaya calisiyorum.. (Ali Ilik'in
> alintiladigi web sitesinden esinlenerek.)
>
>
>
> 2) Eger tersinir bir P matrisi icin B = P^{-1}AP ise, bu iki matrise denk
> diyelim.
>
> Eger A ve B matrisleri denk ise XA = AX esitligini saglayan matrislerle XB
> = BX esitligini saglayan matrisler arasinda buyuk bir fark yoktur, bu
> matrisler de birbirlerine denktirler: A ile degisen matrisler bulundugunda P
> yardimiyla digerleri de bulunur: C(B) = P^{-1}A(B)P.
>
>
>
> 3) Her matris diagonal bir matrise denk degildir. Ornegin
>
> cos a sin b
>
> -sinb  cos a
>
> matrisleri sadece a = pi ve 2pi icin diagonal bir matrise (R uzerine)
> denktir.
>
>
>
> 4) Eger matrislerin katsayilarinin yazildigi cismi genisletirsek, bir
> matrisi diagonal bir matrise denklestirme olasiligimiz artar. Ornegin,
> yukardaki matrislerin her biri C (kompleks sayilar) uzerine diagonal bir
> matrise denktir (cunku bu matrislerin iki degisik eigenvalue'lari vardir.)
> Olasilik artar ama yuzde yuz olmaz. Ote yandan, cismi cebirsel kapali
> yaparsak (yani 0 olmayan her polinomun bu cisim uzerine bir koku varsa, C
> gibi) o zaman bir matris diagonal bir matrise denk degilse de, diagonale cok
> benzeyen ve adina Jordan Canonical Form denen bir matrise denktir. Jordan
> Canonical Form'daki matrislerin diagonalinin alti 0 olur. Diagonalinin hemen
> ustunde de ya 0 ya da 1 vardir, eger iki ardisik diagonal katsayi esit
> degilse bu iki katsayiya komsu katsayilar kesinlikle 0 olur, diagonalin daha
> ustunde ise sadece 0 vardir. Daha fazla ayrintiya girmiyorum. Ama Jordan
> Canonical Form cok cok cok onemlidir lineer cebirde. Su matrise benzerler:
>
> a 1 0 0 0 0 0
>
> 0 a 0 0 0 0 0
>
> 0 0 b 1 0 0 0
>
> 0 0 0 b 1 0 0
>
> 0 0 0 0 b 0 0
>
> 0 0 0 0 0 c 1
>
> 0 0 0 0 0 0 c
>
>
>
> 5) "Hemen hemen" her matrisin Jordan Canonical Form'u diagonaldir. Yani
> soyledir:
>
> a 0 0 0
>
> 0 b 0 0
>
> 0 0 c 0
>
> 0 0 0 d
>
> Hatta daha fazlasi dogru: "Hemen hemen" her matrisin n degisik
> eigenvalue'su vardir (yani yukardaki ornekteki a, b, c, d degisik
> sayilardir.)
>
> Burada "hemen hemen" Zariski anlaminda "generic" demek. Bunun ne demek
> oldugunu burada anlatamam. Asagi yukari, "olasilik yuzde yuz" gibi bir sey
> olarak algilayin. Yani rastgele bir matris secerseniz bunun Jordan Canonical
> Formu'nun diagonal olma "olasiligi" yuzde yuzdur...
>
>
>
> 6) Diagonal katsayilari birbirinden degisik olan A matrisleriyle degisen
> matrisleri bulmak cok kolaydir; basit bir cebirsel islem: Bunlar da diagonal
> matrislerdir. Demek ki bu durumda C(A)'nin boyutu n'dir. Yani cebirsel
> kapali bir cisim uzerine nxn boyutlu rastgele bir A matrisi icin C(A) vektor
> uzayinin boyutu n'dir.
>
>
>
> 7) Benzer arguman eminim cisim cebirsel kapali degilse de yapilabilir cogu
> zaman.
>
>
>
> 8) Ilginc bir problem: Cisim sonluyken, diyelim q elemani varken, bir i
> verilmis ise, kac A matrisinin q^i tane elemani vardir?
>
>
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ali İlik
> *Sent:* Monday, May 14, 2007 1:32 AM
> *To:* Kerem Altun
> *Cc:* MD-sorular at matematikdunyasi.org
> *Subject:* Re: [MD-sorular] matris carpimi
>
>
>
> "Ornegin A ve B nonsingular oldugu verilmis ise, belli bir A icin AB=BA
> kosulunu saglayan bir tane mi B=A^-1 vardir, yoksa baska B'ler de saglar mi?
> "
>
>
>
> A nın tüm güçleri iş görür. 0 matrisinden farklı (B nonsingular çünkü)
> skaler herhangi bir matris de iş görür.
>
>
>
> "- Sadece A nonsingular denmis ise AB=BA kosulunu saglayan A'nin tersinden
> baska B matrisleri de var midir?"
>
>
>
> A nın tüm güçleri iş görür. 0 matrisi dahil skaler herhangi bir matris
> de iş görür.
>
>
>
> "AB=BA olmasi icin gerek ve yeter bir kosul var midir? Varsa nedir, yoksa
> olmadigini gosterebilir miyiz?"
>
>
>
> Gerek ve yeter şart zor olsa gerek... (Ali Hoca'nın dediğini bilmiyorum.
> Jordan Canonical form... Öğrenmem lazım.) AB=BA aslında bir gerek ve yeter
> şarttır (p<=>p önermesi bir teoremdir.) ama onu aramıyosun herhalde... Yeter
> şartlar için bazı linkler:
>
>
>
> http://math.arizona.edu/~weeklynews/poster.html?id=663 (Mail atıp döküman
> istedim, yollarsa buraya da atarım.)
>
> http://www.math.nus.edu.sg/~matlhh/UROPS/reports/Unitary_Similarities.pdf (Section
> 2.4 de bir şeyler var.)
>
> https://nrich.maths.org/discus/messages/114352/114642.html?1164226671 (A+tI
> ya ve son mesaja dikkat. )
>
>
>
> Ali Hoca'nın "AB = BA esitligini saglayan B matrisleri carpma altinda
> kapalidir." ifadesinin nedenini düşündüm. Şu şekilde yaptım. Doğru mu? [
> Hatta kapalılıktan ziyade 3. linkte David demiş ki: " For "most" n x n
> matrices A, the matrices B commuting with A form an n-dimensional subspace V
> of the (n2-dimensional) space of matrices. (I won't go into what "most"
> means here.) " ] (Eh kapalılıktan sonra bu da aşikar...)
>
>
>
> "AB = BA esitligini saglayan B matrisleri carpma altinda kapalidir." demek
> AB=BA ve AC=CA ise A(BC)=(BC)A dir demektir.
>
>
>
> Nitekim de öyledir çünkü A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A
>
>
>
>
> 13.05.2007 tarihinde *Kerem Altun* <kerem.altun at gmail.com > yazmış:
>
> A ve B iki kare matris olsun, ayni boyutlu.
>
> AB=BA olmasi icin gerek ve yeter bir kosul var midir? Varsa nedir, yoksa
> olmadigini gosterebilir miyiz?
>
> Eger yoksa, baska sorularim da olabilir.
>
> - Ornegin A ve B nonsingular oldugu verilmis ise, belli bir A icin AB=BA
> kosulunu saglayan bir tane mi B=A^-1 vardir, yoksa baska B'ler de saglar mi?
>
>
> - Sadece A nonsingular denmis ise AB=BA kosulunu saglayan A'nin tersinden
> baska B matrisleri de var midir?
>
> Ben cok dusundum ama hicbirinin yanitini bulamadim.
>
> Kerem
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
> --
> Ali İlik
> Student Asistant, Department of Mathematics, Uludag University/Turkey.
>



-- 
Ali İlik
Student Asistant, Department of Mathematics, Uludag University.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070514/0a914c48/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi