[MD-sorular] matris carpimi

[Kerem Altun]

Cok tesekkurler. Yani yanlis anlamadiysam asagida yazdiklarim dogru, degil
mi?

A diagonalizable ise, A'yi diagonal yapan matrise P diyelim, yani AP=PD
olsun, D burada A'nin diagonal formu olsun. Yani Jordan formu olsun ama
diagonal olsun.

Su asagidakiler dogrudur:

1. P'nin diagonalize ettigi tum B matrisleri icin AB=BA esitligi gecerlidir.

2. AB=BA'yi saglayacak tum B matrisleri bu sekilde bulunur.



Jordan formu diagonal olmayan matrisler icin hicbir sonuc cikarmadik.
Dogru mu anlamisim?

Kerem



On 5/14/07, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>
>
> 1) AX = XA denklemini saglayan X matrisleri (bu kumeye C(A) diyelim)
> sadece carpma altinda kapali degildir, ayrica bir vektor uzayi da
> olustururlar. Yani AX = XA ve AY = YA ise ve x ve y gercel sayilarsa, o
> zaman A(xX + yY) = (xX + yY)A dir. Bu vektor uzaylarinin bir boyut vardir
> elbet. Bu boyut da en faza n^2 olabilir. Cisim cebirsel kapaliyken boyutun
> cogu zaman n oldugunu soyluyorum ve aciklamaya calisiyorum.. (Ali Ilik'in
> alintiladigi web sitesinden esinlenerek.)
>
>
>
> 2) Eger tersinir bir P matrisi icin B = P^{-1}AP ise, bu iki matrise denk
> diyelim.
>
> Eger A ve B matrisleri denk ise XA = AX esitligini saglayan matrislerle XB
> = BX esitligini saglayan matrisler arasinda buyuk bir fark yoktur, bu
> matrisler de birbirlerine denktirler: A ile degisen matrisler bulundugunda P
> yardimiyla digerleri de bulunur: C(B) = P^{-1}A(B)P.
>
>
>
> 3) Her matris diagonal bir matrise denk degildir. Ornegin
>
> cos a sin b
>
> -sinb  cos a
>
> matrisleri sadece a = pi ve 2pi icin diagonal bir matrise (R uzerine)
> denktir.
>
>
>
> 4) Eger matrislerin katsayilarinin yazildigi cismi genisletirsek, bir
> matrisi diagonal bir matrise denklestirme olasiligimiz artar. Ornegin,
> yukardaki matrislerin her biri C (kompleks sayilar) uzerine diagonal bir
> matrise denktir (cunku bu matrislerin iki degisik eigenvalue'lari vardir.)
> Olasilik artar ama yuzde yuz olmaz. Ote yandan, cismi cebirsel kapali
> yaparsak (yani 0 olmayan her polinomun bu cisim uzerine bir koku varsa, C
> gibi) o zaman bir matris diagonal bir matrise denk degilse de, diagonale cok
> benzeyen ve adina Jordan Canonical Form denen bir matrise denktir. Jordan
> Canonical Form'daki matrislerin diagonalinin alti 0 olur. Diagonalinin hemen
> ustunde de ya 0 ya da 1 vardir, eger iki ardisik diagonal katsayi esit
> degilse bu iki katsayiya komsu katsayilar kesinlikle 0 olur, diagonalin daha
> ustunde ise sadece 0 vardir. Daha fazla ayrintiya girmiyorum. Ama Jordan
> Canonical Form cok cok cok onemlidir lineer cebirde. Su matrise benzerler:
>
> a 1 0 0 0 0 0
>
> 0 a 0 0 0 0 0
>
> 0 0 b 1 0 0 0
>
> 0 0 0 b 1 0 0
>
> 0 0 0 0 b 0 0
>
> 0 0 0 0 0 c 1
>
> 0 0 0 0 0 0 c
>
>
>
> 5) "Hemen hemen" her matrisin Jordan Canonical Form'u diagonaldir. Yani
> soyledir:
>
> a 0 0 0
>
> 0 b 0 0
>
> 0 0 c 0
>
> 0 0 0 d
>
> Hatta daha fazlasi dogru: "Hemen hemen" her matrisin n degisik
> eigenvalue'su vardir (yani yukardaki ornekteki a, b, c, d degisik
> sayilardir.)
>
> Burada "hemen hemen" Zariski anlaminda "generic" demek. Bunun ne demek
> oldugunu burada anlatamam. Asagi yukari, "olasilik yuzde yuz" gibi bir sey
> olarak algilayin. Yani rastgele bir matris secerseniz bunun Jordan Canonical
> Formu'nun diagonal olma "olasiligi" yuzde yuzdur...
>
>
>
> 6) Diagonal katsayilari birbirinden degisik olan A matrisleriyle degisen
> matrisleri bulmak cok kolaydir; basit bir cebirsel islem: Bunlar da diagonal
> matrislerdir. Demek ki bu durumda C(A)'nin boyutu n'dir. Yani cebirsel
> kapali bir cisim uzerine nxn boyutlu rastgele bir A matrisi icin C(A) vektor
> uzayinin boyutu n'dir.
>
>
>
> 7) Benzer arguman eminim cisim cebirsel kapali degilse de yapilabilir cogu
> zaman.
>
>
>
> 8) Ilginc bir problem: Cisim sonluyken, diyelim q elemani varken, bir i
> verilmis ise, kac A matrisinin q^i tane elemani vardir?
>
>
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070514/00dba355/attachment.htm