[MD-sorular] matris carpimi

[ali nesin]

<<A diagonalizable ise, A'yi diagonal yapan matrise P diyelim, yani AP=PD
olsun, D burada A'nin diagonal formu olsun. Yani Jordan formu olsun ama
diagonal olsun. Su asagidakiler dogrudur:
1. P'nin diagonalize ettigi tum B matrisleri icin AB=BA esitligi gecerlidir.
2. AB=BA'yi saglayacak tum B matrisleri bu sekilde bulunur.>>

 

Evet dogru.

 

Bir onemsiz uyari: AP = PD yazilmaz, yoksa kafa karisir, cunku burada P'nin
tersinir oldugu anlasilmiyor, P illa ki tersinir olmali. AP = PD yerine

P^{-1}AP = D yazilir ya da A^P = D; ben ikinci yazilimi yeglerim.

 

Asagida P^{-1} yerine P' yazacagim.

 

Ayni argumani D diagonal olsun ya da olmasin her A icin yapabilirsin.

AX = XA esitligini saglayan matrisler kumesine C(A) diyelim. (Centralizer of
A).

A^P = D olsun. D diagonal olmayabilir.

Simdi AX = XA olsun. 

Her iki tarafin soluna P', sagina P koyalim: P'AXP = P'XAP elde ederiz.

A ile X arasina PP' (= Id) koyalim: P'APP'XP = P'X PP'AP elde ederiz. Yani
A^P X^P = X^P A^P. Demek ki X^P, C(A^P) kumesinde, yani X, C(A^P)^P'
kumesinde. Demek ki X, C(D)^P' kumesinde.

 

Simdi D'yi, C(D)'sini bildigimiz ya da hesaplamasi gorece kolay bir matris
secelim.

Eger D Jordan kanonical formda ise C(D)'yi bulmak kolaydir.

 

Ali



 

  _____  

From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Monday, May 14, 2007 10:30 AM
To: ali nesin; MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] matris carpimi

 

Cok tesekkurler. Yani yanlis anlamadiysam asagida yazdiklarim dogru, degil
mi?

A diagonalizable ise, A'yi diagonal yapan matrise P diyelim, yani AP=PD
olsun, D burada A'nin diagonal formu olsun. Yani Jordan formu olsun ama
diagonal olsun. 

Su asagidakiler dogrudur:

1. P'nin diagonalize ettigi tum B matrisleri icin AB=BA esitligi gecerlidir.

2. AB=BA'yi saglayacak tum B matrisleri bu sekilde bulunur.



Jordan formu diagonal olmayan matrisler icin hicbir sonuc cikarmadik. 
Dogru mu anlamisim?

Kerem




On 5/14/07, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:

 

1) AX = XA denklemini saglayan X matrisleri (bu kumeye C(A) diyelim) sadece
carpma altinda kapali degildir, ayrica bir vektor uzayi da olustururlar.
Yani AX = XA ve AY = YA ise ve x ve y gercel sayilarsa, o zaman A(xX + yY) =
(xX + yY)A dir. Bu vektor uzaylarinin bir boyut vardir elbet. Bu boyut da en
faza n^2 olabilir. Cisim cebirsel kapaliyken boyutun cogu zaman n oldugunu
soyluyorum ve aciklamaya calisiyorum.. (Ali Ilik'in alintiladigi web
sitesinden esinlenerek.)

 

2) Eger tersinir bir P matrisi icin B = P^{-1}AP ise, bu iki matrise denk
diyelim.

Eger A ve B matrisleri denk ise XA = AX esitligini saglayan matrislerle XB =
BX esitligini saglayan matrisler arasinda buyuk bir fark yoktur, bu
matrisler de birbirlerine denktirler: A ile degisen matrisler bulundugunda P
yardimiyla digerleri de bulunur: C(B) = P^{-1}A(B)P.

 

3) Her matris diagonal bir matrise denk degildir. Ornegin 

cos a sin b

-sinb  cos a

matrisleri sadece a = pi ve 2pi icin diagonal bir matrise (R uzerine)
denktir.

 

4) Eger matrislerin katsayilarinin yazildigi cismi genisletirsek, bir
matrisi diagonal bir matrise denklestirme olasiligimiz artar. Ornegin,
yukardaki matrislerin her biri C (kompleks sayilar) uzerine diagonal bir
matrise denktir (cunku bu matrislerin iki degisik eigenvalue'lari vardir.)
Olasilik artar ama yuzde yuz olmaz. Ote yandan, cismi cebirsel kapali
yaparsak (yani 0 olmayan her polinomun bu cisim uzerine bir koku varsa, C
gibi) o zaman bir matris diagonal bir matrise denk degilse de, diagonale cok
benzeyen ve adina Jordan Canonical Form denen bir matrise denktir. Jordan
Canonical Form'daki matrislerin diagonalinin alti 0 olur. Diagonalinin hemen
ustunde de ya 0 ya da 1 vardir, eger iki ardisik diagonal katsayi esit
degilse bu iki katsayiya komsu katsayilar kesinlikle 0 olur, diagonalin daha
ustunde ise sadece 0 vardir. Daha fazla ayrintiya girmiyorum. Ama Jordan
Canonical Form cok cok cok onemlidir lineer cebirde. Su matrise benzerler:

a 1 0 0 0 0 0

0 a 0 0 0 0 0

0 0 b 1 0 0 0

0 0 0 b 1 0 0

0 0 0 0 b 0 0

0 0 0 0 0 c 1

0 0 0 0 0 0 c

 

5) "Hemen hemen" her matrisin Jordan Canonical Form'u diagonaldir. Yani
soyledir:

a 0 0 0

0 b 0 0

0 0 c 0

0 0 0 d

Hatta daha fazlasi dogru: "Hemen hemen" her matrisin n degisik eigenvalue'su
vardir (yani yukardaki ornekteki a, b, c, d degisik sayilardir.)

Burada "hemen hemen" Zariski anlaminda "generic" demek. Bunun ne demek
oldugunu burada anlatamam. Asagi yukari, "olasilik yuzde yuz" gibi bir sey
olarak algilayin. Yani rastgele bir matris secerseniz bunun Jordan Canonical
Formu'nun diagonal olma "olasiligi" yuzde yuzdur...

 

6) Diagonal katsayilari birbirinden degisik olan A matrisleriyle degisen
matrisleri bulmak cok kolaydir; basit bir cebirsel islem: Bunlar da diagonal
matrislerdir. Demek ki bu durumda C(A)'nin boyutu n'dir. Yani cebirsel
kapali bir cisim uzerine nxn boyutlu rastgele bir A matrisi icin C(A) vektor
uzayinin boyutu n'dir.

 

7) Benzer arguman eminim cisim cebirsel kapali degilse de yapilabilir cogu
zaman.

 

8) Ilginc bir problem: Cisim sonluyken, diyelim q elemani varken, bir i
verilmis ise, kac A matrisinin q^i tane elemani vardir?

 

Ali

 

  _____  

 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070514/f7df51bd/attachment.htm