[MD-sorular] <X,Y> ve R[X, Y]

[ali nesin]

" Denklemlerde iki tarafın da derecelerini karşılaştırdığımız zaman deg
f = 1, 0  buluyoruz."

Emin miisn? R bir domain olmayabilir... 
Ali

-----Original Message-----
From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet Kıral
Sent: Monday, May 21, 2007 12:08 AM
To: barýþ uðurcan
Cc: md
Subject: Re: [MD-sorular] <X,Y> ve R[X, Y]

Çok teşekkür ederim. Biraz araları doldurmak gerekiyor ama sanırsam.
Örneğin c/d yazamayız, c'yi d'ye bölebileceğimizi bilmiyoruz.
Dediğiniz gibi <f> = I olsun. pf = X ve qf = Y var elimizde o zaman.
(Bunu böyle yazabilmemizin sebebi de R'nin ve dolayısıyla R[X, Y]'nin
1'li ve değişmeli olması; yoksa <f> = Rf + fR + Zf yazmamız gerekirdi,
Z doğal sayılar.)

Denklemlerde iki tarafın da derecelerini karşılaştırdığımız zaman deg
f = 1, 0  buluyoruz.
Eğer deg f = 0 olsaydı o zaman <X,Y> ideali <f>'ye eşit olamazdı.
Çünkü X ve Y ile gerilen idealin herhangi bir elemanının derecesi
1'den büyük olmak zorunda, bu da f'nin <X,Y> de olmasını engelliyor.
Demek ki deg f = 1.
Bu da p ve q aslında sabit demek oluyor. Ayrıca f(X, Y) = aX + bY
Dolayısıyla paX + pbY = X ve qaX + qbY = Y oluyor.
Yani pa = 1 ve pb = 0 imiş.
Demek ki p'nin bir sağ tersi var. O zaman sol tersi de var
(değişmeliliği yine kullandık) Demek ki 0 olmayan hiçbir b için pb = 0
olamaz. Zira 0 = a0 = apb = 1b = b.
O zaman ise ikinci denklemde qaX = Y elde ediyoruz ki bu imkansız.


Peki varsayımları azaltma imkanımız var mıdır? Bariz bir şekilde R'yi
1'li halka almak zorundayız (yoksa X € R[X,Y] yazamayız) ancak
değişmeli almasak olur mu?
Ya da şöyle de sorabilirim. Öyle bir R halkası var mıdır ki içinde a,
b, p ve q elemanları olsun ve şu eşitlikleri sağlasınlar.
pa = 1,  pb = 0
qa = 0,  qb = 1


2007/5/20, barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>:
> idealimiz I=(x)+(y) olsun.  eger bu principalsa  I=(f(x,y))  olur ama x
> elemani I ve y elemani I o  zaman  x=cf(x,y)  y=df(x,y) c ve d sabit olmak
> uzere. celiski cunku x/y=c/d ama x ve y bagimsiz degisken. [Basic Abstract
> Algebra, Bhattacharya-negpaul-jain, page 217]
>
> saygilar,
>
> baris
>
>
> "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com> wrote:
> R değişmeli ve 1'li bir halka olsun. O zaman R[X, Y]'deki I =
> ideali tek bir polinom tarafından gerilemez.
> Soru bu, (gösterin diyor).
>
> Ne soruyu çözebildim ne de R'nin değişmeli ve 1'li olmasının konuyla
> alakasını çıkarabildim. (Bu çıkaramayış soruyu çözememiş olmamdan
> ileri geliyor olabilir, hatta oldukça olasıdır.)
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
> ________________________________
> Looking for a deal? Find great prices on flights and hotels with Yahoo!
> FareChase.
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.