[MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme

[Kerem Altun]

Uniform sampling derken kastettigim su:

S2 kuresi icin ornek vereyim. Kurenin uzerindeki noktalari enlem ve
boylamlariyla gosterebiliriz. Kurenin merkezine koordinat sistemini
yerlestirdik diyelim, enlemler [-pi/2,pi/2] araliginda, boylamlar [0,2pi]
araliginda deger aliyor. Yani [-pi/2,pi/2]x[0,2pi] kumesinin bir elemani,
kure uzerinde bir noktaya karsilik gelir.

Simdi bu kumeden uniform dagilimdan 5000 tane rastgele nokta secelim,
karsilik gelen noktalari kure uzerinde isaretleyelim. Ondan sonra ben bu
isaretli kureyi alip evirip cevirip disaridan incelesem, bu kurenin
kutuplarinin (kutup derken, enlemi -pi/2 ve pi/2 olan noktalar yani) nerede
oldugunu anlarim, cunku noktalar orada yogunlasmis olur. Yani en azindan
bana oyle olacakmis gibi geliyor.

Iste oyle bir yontem (ya da dagilim) bulmak istiyorum ki, kure uzerinde bu
rastgele 5000 noktayi isaretledikten sonra kureyi alip bakinca kutuplarin
neresi oldugunu anlamayayim. Yani noktalar kurenin uzerinde uniform dagilmis
olsun.

Tabi S2'yi ornek olsun diye soyledim, bu isi SO3 icin yapmak istiyorum.

Kerem



On 5/25/07, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>  Evet, soyledigin gruba SO_3 denir.
>
> Uniform sampling nedir bilmiyorum ama SO_3'un grup yapisini bilirsen
> sanirim her sey daha acik olacak. O acilarla calisma bence.
>
> SO_3 grubu, R/Z daha dogrusu R/2piZ gruplarinin ayrik bilesimidir. Ornegin
> A = {g in SO_3 : g neq 1 ve g^3 = 1} olsun. g in A icin,
>
> C_g = {h in SO_3: hg = gh} = cebntralizer of g in SO_3
>
> olsun. C_g'nin ne oldugunu anlatmaya calisayim.
>
> g'nin sabit biraktigi bir eksen vardir, donduru ekseni; g donusumu
> noktalari bu eksen etrafinda (belli bir aciyla) dondurur.
>
> C_g, iste bu eksen etrafindaki dondururler kumesidir. Bir altgruptur.
> C_g'nin her elemani bir aci tarafindan belirlenmistir (cunku eksenler hep
> ayni, g'nin ekseni). Ve carpma da (yani composition) acilarin modulo 2pi
> toplanmasina denktir. Bu yuzden grup R/2piZ'ye izomorftur.
>
> SO_3, g in A icin C_g altgruplarinin bilesimidir. Ve bu C_g altgruplari Id
> (identity) disinda ayriktir.
>
> Dahasi, g in A ve h in A ise, oyle bir t in SO_3 vardir ki, t^{-1}gt =
> h'dir.
>
> Eger C_g'nin bir uniform sampling'ini alsan, diyelim U ve t in SO_3 icin
> t^{-1}Ut'lerin bilesimini alsan belki istedigini elde edersin.
>
>
>
> Bir baska oneri: g, h in A olsun. Ve g neq h olsun. O zaman G = C_g C_h
> C_g esitligi dogrudur. U ve V, C_g ve C_h'de uniform sampling olsunlar. O
> zaman UVU acaba SO_3'un bir uniform sampling'i olabilir mi?
>
>
>
> Eger bu da olmazsa, U ve W, C_g'nin birbirinde "bagimsiz" sampling'leri
> olsun. V de C_h'nin olsun. O zaman UVW belki de aradigindir.
>
>
>
> Ali
>
>
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Kerem Altun
> *Sent:* Friday, May 25, 2007 6:06 PM
> *To:* md-sorular at matematikdunyasi.org
> *Subject:* [MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme
>
>
>
> Hatta, bu yazdigimdan birsey anlayanlar sunun yanitini verse de olur:
>
> Bu soruyu nasil dogru duzgun sorabilirim?
>
> Kerem
>
>  On 5/25/07, *Kerem Altun *<kerem.altun at gmail.com> wrote:
>
> Simdi bir soru soracagim ama, soruyu dogru sorup sormadigimi bile
> bilmiyorum.
>
> SO3 kumesi uzerinde uniform sampling nasil yapilir?
>
> Aciklayayim ne demek istedigimi:
>
> 3 boyutlu uzayda bir objenin bir noktasini orijine sabitleyelim. Objeyi bu
> noktanin etrafinda dondurelim. Dondurdukten sonra objenin "konfigurasyonu"
> degisir. Objenin tum bu konfigurasyonlarinin kumesine SO3 deniyor diye
> biliyorum, emin degilim gerci ama yukarida o anlamda kullandim. Hatta
> dogrusunu birisi yazabilirse sevinirim. Neyse, bu konfigurasyonu 3 adet
> aciyla (bunlara Euler acisi denir) belirleyebilecegimiz gibi, orthogonal bir
> matrisle veya quaternionlarla da belirleyebiliriz.
>
> Iste, tum bu konfigurasyonlarin icinden oyle ornekler alacagiz ki, bunlar
> "uniform" dagilmis olacak.
>
> Herhalde ornegin 3 Euler acisi icin [0,2pi]x[0,2pi]x[0,2pi] kupunden
> uniform sample almakla SO3'ten uniform sample almak ayni sey degildir. Ya da
> oyle midir?
>
> Yani mesela [0,2pi]x[0,2pi] karesinden uniform sample alinca bunlar S2
> kuresi uzerinde uniform dagilmis olmuyor. Zaten galiba kurenin uzerinde
> boylamlar [0,2pi] arasinda degisirken enlemler [-pi/2,pi/2] arasinda
> degisiyor. Ama [0,2pi]x[-pi/2,pi/2] dikdortgeninden uniform sample alsak
> bile, bu sample'lar kurenin uzerine koyunca kutuplarda toplaniyor galiba.
>
> S2 kuresini gectim, bunu SO3 icin yapmak istiyoruz. Anlatabildim mi acaba
> sorumu? Ingilizce terimler icin kusura bakmayin.
>
> Kerem
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070526/c3ab7466/attachment.htm