Re: [MD-sorular] Sorularım

[E. Mehmet Kıral]

Merhabalar,

Uyarınız sonucu 2. sorudaki işlemlerimi tekrar gözden geçirdim. Müthiş bir
hata yapmışım.
Aslında bir ufak hata daha yapmışım ancak o, o kadar da müthiş değil.

Böyle bir soru sorduğunuz için çok teşekkür ederim.



> 2. soru
> f(N) = Çarpım(n = 1'den N-1'e kadar) sin(n*pi/N) = Çarpım (1/2i *
> [e^(in*pi/N)  -  e^(-in*pi/N)])
>
> iki tarafın logaritmasını alalım.
>
> log f(N) = Toplam (n = 1'den N-1'e kadar) [ log(1/2i) + log(e^(in*pi/N))
> + log(1 - e^(-in*2pi/N))  ]
>
> ilk toplam log (2i)^(-N+1)
> ikinci toplam da toplam (i n*pi/N) = i (N-1) N pi /N = i(N-1)*pi
>

Burada toplamın sonucu aslında i(N-1)*pi/2 olmalı. Zira 1'den N-1'e kadar
olan sayıların toplamı N(N-1)/2'dir.
Bu o kadar da müthiş olmayan hata idi.

 üçüncü toplam için de logaritmanın taylor serisini açıyoruz.
>
> toplam(n=1'den N-1'e kadar) log(1-e^(-in*2pi/N))
> = toplam(n = 1'den N-1'e kadar)  toplam (k = 1'den sonsuza kadar) -
> e^(-in*2pi*k/N) / k
> = - toplam (k) 1/k * toplam (n) e^(-in*2pi*k/N)
> içerideki toplam geometrik seri toplamını kullanırsak her k için 0 ediyor.
> Dolayısıyla bu kısmın genel toplama katkısı 0.
>

Asıl hata burada. Aslında içerideki toplam 0 değil, geometrik seri n = 1'den
başladığı için -1. Ama bir bakıyoruz ki -1 koyunca elimize Toplam (k) 1/k
serisi geliyor. Bu ise ıraksak. Sonlu bir çarpımdan nasıl bir ıraksak seri
elde edebiliriz.
Sorun toplamların yerini değiştirmekte. Toplamların yerini değiştiremeyiz.
Buna hakkımız yok. Çünkü bu seriler mutlak yakınsak değil. Hatta her bir
terimin mutlak değeri 1/k.
Ve üstelik de Dirichlet testten dolayı yakınsıyorlar.
Daha önce hiç gündelik bir işlemde böyle bir sorunla karşılaşmamıştım, hep
bu mutlak yakınsaklığın gerekli olduğunu göstermesi gereken örneklerle
toplamların yerlerini değiştiremeyeceğimizi müşahede etmiştim. Müthiş bir
hata.
O zaman toplamı serilerin yerini değiştirmeden ve hatta logaritmayı taylor
serisi olarak açmadan yapıyoruz. (Açmamızda hata yoktu, olmaması ise yine
çok ince bir mesele. Aslında taylor serisini sadece 1 etrafındaki 1
yarıçaplı topta açabiliriz, çemberin üzerinde de toplamın eğer yakınsaksa
geçerli olduğu ise abel'in bir teoreminden kaynaklanmakta. Bir başka
müthişlik.)

sağ taraf
log [çarpım (n) (1-exp( - 2pi*n/N))]
içerideki çarpım ise
çarpım (n) (1 - exp(2pi*n/N))'ye eşit.
Bu çarpım ise N ediyor. Çünkü bu sonlu çarpımın 0. terimi 1, k. terimi ise
(-1)^k toplam (a1) toplam (a2) ... toplam (ak) exp((a1+...+ak)*2pi/N)
= (-1)^k [toplam(a1) exp(a1*2pi/N)] * [toplam(a2) exp(a2*2pi/N)] ...
[toplam(ak) exp(ak*2pi/N)]
Her bir çarpan geometrik seri argümanından dolayı -1 dolayısıyla k. terim
= (-1)^k * (-1)^k = 1.
Toplam N tane terim olduğundan bu çarpım N ediyor.

Şimdi her şeyi yazalım: log f(N) = (N - 1)*log(1/2i) + (N-1)pi*i/2 + log N
Demek ki f(N) = N*exp( (N-1)(pi*i/2 - log2i)
log2i = log 2 + log i = log 2 + pi*i/2 olduğundan f(N) = N*exp(  -
(N-1)log2) = N / 2^(N-1)

Çıkan sonucun şık çıkması da ayrı bir güzel. (Rasyonel çıkması bile başlı
başına ilginç.)



> Demek ki f(N) = exp log f(N) = (2i)^(-N+1)   *  e^(i*pi(N-1))
>
>
> 3. soru
> Eğer sonsuz polinomdan kastınız yakınsak kuvvet serileri ise o zaman
> hayır.
> üstel fonksiyonun bir "sonsuz polinom" açılımı vardır ancak exp(z) hiçbir
> zaman 0 olmaz.
>
>
> 2007/5/23, dede_47 <dede_47 at mynet.com>:
> >
> >       Değerli Matematik Dostları;
> > Bu sitede 2 soru sordum,2 sinede hiçbir yanıt alamadım.Acaba sorular
> > çokmu basitti;ilgiye değer bulunmadı,yoksa çok mu zordu? Her durumda birisi
> > birşey demeliydi.Çok basit veya çok zor bulanlara bir şeyi
> > hatırlatırım:Ne kadar üst düzeyde veya alt düzeyda matematik yaparsanız
> > yapın sonuçta tek bir işleme muhtaçsınız: TOPLAMA.Şimdi bu sorduğum
> > sorulara bir 3. sünüde ekleyerek tekrar yazıyorum.Lüffen ilgilenirseniz
> > memnun olacağım!
> > 1.Sorum:Euler-Mac Laurent toplama formülüne benzer bir yaklaşık seri
> > hesaplama yöntemi;iki katlı serilerde de varmıdır?Varsa hangi kaynaktan
> > bulabilirim?
> > 2.Sorum:f(N)=Çarpım(n=1'den N=N-1' e kadar Sin(n*pi/N)) sonlu çarpım
> > işleminde f(N) nedir?
> > 3.Sorum:Cebrin esas teoremi sonlu dereceli polinomlar için
> > doğrudur.(Gaus ıspatlamıştır).Bu teorem derecesi sonsuz olan polinomlar
> > içinde doğrumudur?
> >       Saygılarımla...
> >
> > A.Kadir Değirmencioğlu
> >
> >
> > ____________________________________________________________________________
> >
> > *Zeynep Tokuş,Tan Sağtürk,Kargo.....ve daha birçok ünlü Mynet email
> > kullanıyor! Ya sen?*<http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=21782&url=http://www.mynet.com/email/snrszemail.asp>
> >
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.




-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070526/b5396c02/attachment.htm