[MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme

27 Mayıs 2007 Paz 15:02:46 EEST

Biraz onceki mesajimda S^2 yerine S^3 okunmalidir. Tersim dondu birden...

S^3 ile SO_3 locally homeomorftur. Globally homeomorf olduklarini
sanmiyorum, biliyordum ama aradan yilar gecti unuttum, olabilirler de.

Ama O_3 ile S^3 homeomorftur. O_3, uc boyutlu uzayin mesafeyi koruyan ve
O(0, 0, 0) noktasini sabitleyen donusumleridir. O_3, quaternion cebirinin
normu 1 olan elemanlari yani S^3 olarak gorulebilir. Zaten quaternionlar da
bu nedenle yaratilmislardir.

SO_3 isee O_3/Z(O_3)'tur. Z(O_3) = O_3'un tum elemanlariyla commute eden
elemanlar yani {1, -1} kumesi (altgrubudur.)

S^3, yani O_3 uzerinde bulunan bir sampling (her ne ise), O_3/Z(O_3) = SO_3
uzerine indirgenerek eminin mi SO_3 uzerinde bir sampling verir.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Sunday, May 27, 2007 1:51 PM
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme

Bir de bir soru: S3 ile SO3 homeomorf mudur?

Kerem

On 5/27/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com > wrote:

Bu konuda bir konferans bildirisi buldum, belki birilerinin ilgisini
cekmistir konu, buraya da yazayim. Basit bir yolu varmis, arccos fonksiyonu
kullaniliyormus. Ama kaniti yok bu bildiride. 

J. J. Kuffner, "Effective sampling and distance metrics for 3D rigid body
path planning," Proc. of IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 2004,
pp. 3974--3980 

Kerem

On 5/26/07, Kerem Altun < <mailto:kerem.altun at gmail.com>
kerem.altun at gmail.com> wrote:

Uniform sampling derken kastettigim su:

S2 kuresi icin ornek vereyim. Kurenin uzerindeki noktalari enlem ve
boylamlariyla gosterebiliriz. Kurenin merkezine koordinat sistemini
yerlestirdik diyelim, enlemler [-pi/2,pi/2] araliginda, boylamlar [0,2pi]
araliginda deger aliyor. Yani [-pi/2,pi/2]x[0,2pi] kumesinin bir elemani,
kure uzerinde bir noktaya karsilik gelir. 

Simdi bu kumeden uniform dagilimdan 5000 tane rastgele nokta secelim,
karsilik gelen noktalari kure uzerinde isaretleyelim. Ondan sonra ben bu
isaretli kureyi alip evirip cevirip disaridan incelesem, bu kurenin
kutuplarinin (kutup derken, enlemi -pi/2 ve pi/2 olan noktalar yani) nerede
oldugunu anlarim, cunku noktalar orada yogunlasmis olur. Yani en azindan
bana oyle olacakmis gibi geliyor. 

Iste oyle bir yontem (ya da dagilim) bulmak istiyorum ki, kure uzerinde bu
rastgele 5000 noktayi isaretledikten sonra kureyi alip bakinca kutuplarin
neresi oldugunu anlamayayim. Yani noktalar kurenin uzerinde uniform dagilmis
olsun. 

Tabi S2'yi ornek olsun diye soyledim, bu isi SO3 icin yapmak istiyorum.

Kerem

On 5/25/07, ali nesin < <mailto:anesin at bilgi.edu.tr>  anesin at bilgi.edu.tr>
wrote:

Evet, soyledigin gruba SO_3 denir.

Uniform sampling nedir bilmiyorum ama SO_3'un grup yapisini bilirsen sanirim
her sey daha acik olacak. O acilarla calisma bence.

SO_3 grubu, R/Z daha dogrusu R/2piZ gruplarinin ayrik bilesimidir. Ornegin A
= {g in SO_3 : g neq 1 ve g^3 = 1} olsun. g in A icin,

C_g = {h in SO_3: hg = gh} = cebntralizer of g in SO_3

olsun. C_g'nin ne oldugunu anlatmaya calisayim.

g'nin sabit biraktigi bir eksen vardir, donduru ekseni; g donusumu noktalari
bu eksen etrafinda (belli bir aciyla) dondurur.

C_g, iste bu eksen etrafindaki dondururler kumesidir. Bir altgruptur.
C_g'nin her elemani bir aci tarafindan belirlenmistir (cunku eksenler hep
ayni, g'nin ekseni). Ve carpma da (yani composition) acilarin modulo 2pi
toplanmasina denktir. Bu yuzden grup R/2piZ'ye izomorftur.

SO_3, g in A icin C_g altgruplarinin bilesimidir. Ve bu C_g altgruplari Id
(identity) disinda ayriktir.

Dahasi, g in A ve h in A ise, oyle bir t in SO_3 vardir ki, t^{-1}gt =
h'dir.

Eger C_g'nin bir uniform sampling'ini alsan, diyelim U ve t in SO_3 icin
t^{-1}Ut'lerin bilesimini alsan belki istedigini elde edersin.

Bir baska oneri: g, h in A olsun. Ve g neq h olsun. O zaman G = C_g C_h C_g
esitligi dogrudur. U ve V, C_g ve C_h'de uniform sampling olsunlar. O zaman
UVU acaba SO_3'un bir uniform sampling'i olabilir mi?

Eger bu da olmazsa, U ve W, C_g'nin birbirinde "bagimsiz" sampling'leri
olsun. V de C_h'nin olsun. O zaman UVW belki de aradigindir.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Friday, May 25, 2007 6:06 PM
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme

Hatta, bu yazdigimdan birsey anlayanlar sunun yanitini verse de olur:

Bu soruyu nasil dogru duzgun sorabilirim?

Kerem

On 5/25/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:

Simdi bir soru soracagim ama, soruyu dogru sorup sormadigimi bile
bilmiyorum. 

SO3 kumesi uzerinde uniform sampling nasil yapilir?

Aciklayayim ne demek istedigimi:

3 boyutlu uzayda bir objenin bir noktasini orijine sabitleyelim. Objeyi bu
noktanin etrafinda dondurelim. Dondurdukten sonra objenin "konfigurasyonu"
degisir. Objenin tum bu konfigurasyonlarinin kumesine SO3 deniyor diye
biliyorum, emin degilim gerci ama yukarida o anlamda kullandim. Hatta
dogrusunu birisi yazabilirse sevinirim. Neyse, bu konfigurasyonu 3 adet
aciyla (bunlara Euler acisi denir) belirleyebilecegimiz gibi, orthogonal bir
matrisle veya quaternionlarla da belirleyebiliriz. 

Iste, tum bu konfigurasyonlarin icinden oyle ornekler alacagiz ki, bunlar
"uniform" dagilmis olacak.

Herhalde ornegin 3 Euler acisi icin [0,2pi]x[0,2pi]x[0,2pi] kupunden uniform
sample almakla SO3'ten uniform sample almak ayni sey degildir. Ya da oyle
midir? 

Yani mesela [0,2pi]x[0,2pi] karesinden uniform sample alinca bunlar S2
kuresi uzerinde uniform dagilmis olmuyor. Zaten galiba kurenin uzerinde
boylamlar [0,2pi] arasinda degisirken enlemler [-pi/2,pi/2] arasinda
degisiyor. Ama [0,2pi]x[-pi/2,pi/2] dikdortgeninden uniform sample alsak
bile, bu sample'lar kurenin uzerine koyunca kutuplarda toplaniyor galiba. 

S2 kuresini gectim, bunu SO3 icin yapmak istiyoruz. Anlatabildim mi acaba
sorumu? Ingilizce terimler icin kusura bakmayin.

Kerem

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070527/5b3403e6/attachment.htm 