[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

2 Kas 2007 Cum 20:44:12 EET

 "Sayilamaz sonsuzlukta olmasi kosuluyla..." demişsiniz,anlamadım ben
nerde gerekli olduğunu.
    Haydar

On 11/2/07, ali nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:
> " Yukarıdaki argümanda C yerine her hangi bir cebirsel kapalı bir
> cisim alınabilir."
>
> Sayilamaz sonsuzlukta olmasi kosuluyla...
> Ali
>
> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of haydar göral
> Sent: Friday, November 02, 2007 8:07 PM
> To: E. Mehmet Kıral
> Cc: md-sorular
> Subject: Re: [MD-sorular] Garip gurup bir grup.
>
>   Cisimler konusunda hata yapmışım,bana isomorf olmaları gibi geldi
> çünkü bu taktirde her iki cisimde de içlerinde kendilerine isomorf öz
> alt bir cisim bulabiliyoruz.
> Ama düşündüğüm doğru değil,şöyle bir karşı örnek var:
>
> C:kompleks sayılar olsun ve C(X) de rasyonel fonksiyonlar cismi
> olsun,yani C üzerine polinom halkasından aldığımız iki polinom p ve
> q(0 dan farklı) için p/q C(X)
> cismindedir.Şimdi bu iki cismi düşünelim.Bu iki cisim birbirine
> isomorf değildirler çünkü C cebirsel kapalıdır (yani sabit olmayan
> kompleks katsayılı her polinomun yine C de  kökü vardır:cebirin temel
> teoremidir buda) ama C(X) te X'in karekökü yoktur.C'nin C(X)'in içinde
> olduğu belli.Şimdi de C(X)'i  C'nin içine sokalım.
> C(X)'in cebirsel kapanışını düşünelim(her cisim cebirsel kapalı bir
> cisimin içine girer bir teoreme göre).B yeni cisme L diyelim.Demek ki
> L cismi C'yi içermek zorunda.Ama C'de aynı zamanda cebirsel kapalı
> olduğu için kendisinden büyük
> başka bir cisim yoktur(genel olarak cebirsel kapalı cisimlerin
> kendisinden daha büyük bir genişlemesi yoktur).Demek ki L cismi C'ye
> isomorf.Yani C(X) bu şekilde
> C'nin içine girer.
>
> Not:Yukarıdaki argümanda C yerine her hangi bir cebirsel kapalı bir
> cisim alınabilir.
>
> Böylece sorunun cevabını gruplar,vektör uzayları ve cisimler için
> biliyoruz.Son olarakta cisim olmayan halkalar için karşı örnek olup
> olmadığı.
>
> On 10/31/07, haydar göral <hgoral at gmail.com> wrote:
> >  İkinci paragrafta söylemek istediğim diğer bir karşı örnek
> > oluşturmasıydı.Yaptığımız
> > gibi 2 elemanlı özgür grup 3 elemanlı olanın içine giriyor.Şimdi
> > bulduğumuzdan farklı olarak 3 elemanlı özgür grubu yine 2 elemanlı
> > olanın içine sokalım.Bilinen birşey 2
> > elemalı özgür grubun komütatör alt grubunun üreteç sayısının sonsuz
> > olduğudur.Demek ki 3 elemanlı olan özgür çocuk 2 elemalı olanın
> > komütatörüne gömülür,ama bu komütatör alt grupta zaten 2 elemanlı
> > özgür çocuğun içindedir.
> >
> > Cisimlere gelince verdiğin örnekler birbirinin içine gömülemezler.Biz
> > birbirinin içine gömüldüğü durumdan bahsediyoruz.Bu durumda  diyelimki
> > K ve L iki cisim olsun birbirinin içine gömülen ve ikisinden de küçük
> > bir cisim üzerine vektör uzayı olsunlar.Demek ki boyutları aynı bu
> > küçücük cisim üzerine.Bu yüzden K<L durumu olamaz(K derken K nın L de
> > imgesi).
> >
> > On 10/31/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > Aslında yaptığın homomorfizma kelimelerin uzunluğunu kısaltabiliyor,
> > > misal x^-1 y z^-1 kelimesini alıyor ve x^-2 xy y^-2 = x^-1 y^-1 yapıyor.
> > >
> > > Öte yandan yine de bir monomorfizma, zira çekirdeği tırışkadan. (Yani
> > > kerneli 1).
> > > Açıklaması şöyle: y'nin kuvveti 0, 1 ya da -1'den farklı olursa
> > > kendiliğinden ortada bir y ya da y^-1 kıstırıyoruz yok edemediğimiz.
> > > Bu üç durumda da hiçbir kelimenin görüntüsünün 1 olmadığını görebiliriz.
> > >
> > > E tamam şimdi iki grubu birbirinin içine sokmuş olduk ve işimiz bitti,
> > > izomorfik olmadılarını da biliyoruz üstelik, birinin 2 üreteci varken
> > > diğerinin 3 üreteci var.
> > > Bir karşıörnek buldun yani.
> > >
> > > Bir sonraki paragrafı neden yazdın peki, komütatör altgrupla ilgili
> > > olanı. Biraz daha açar mısın orada yazdıklarını, hem ne dediğini
> > > anlamadım hem de neden daha bir şey demen gerekiyor onu da anlamadım.
> > >
> > > Cisim konusuna gelince, doğru değil yazdığın. İzomorfik olan vektör
> > > uzayı yapısı, cismin çarpımsal yapısını korumayabilir vektör uzayı
> > > izomorfizması. Hatta asal cismi üzerine aynı boyutlu ama eşyapısal
> > > olmayan cisimler de mevcuttur. Q(kök(2)) ile Q(kök(3)) örneğin. İkisi
> > > de Q üzerine 2 boyutlu vektör uzayları, dolayısıyla vektör uzayı
> > > olarak izomorfikler. Ancak birinde 3'ün karekökü var diğerinde yok.
> > >
> > >
> > > 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > >  Evet haklısın dikkatsizlik etmişim.Peki şu gruplar oluyormu?:
> > > >
> > > >  G= 2 elemanlı özgür grup olsun =x ve y ile gerilsin
> > > >  H= 3 elemanlı özgür grup olsun = x ,y ve z ile gerilsin
> > > >
> > > >  G den H ye x ->x e ve y->y ye götüren fonksiyon 1-1 morfizmadır.
> > > >  H den G ye x->x^2 , y->xy ve z->y^2  yollayan fonksiyon morfizmadır
> > > > ve 1-1 dir,çünkü:
> > > >   H deki bir eleman x^i1y^i1z^i1...x^iky^ikz^ik şeklindedir ve bu
> > > > elemanun G deki görüntüsü 1 ise bu elemanda 1 dir.Çünkü G de bu
> > > > elemanların karşılığını koyunca
> > > > x ve y nin güçlerini arttırmaktan başka birşey yapmayız.
> > > >
> > > >  Şimdi yine yukardaki 2 özgür grubu düşünelim.Aynı şekilde G grubunu H
> > > > nin içinde görebiliriz.Bide G grubunun komütator alt grubu sonsuz
> > > > elemanlı özgür gruptur demekki H yi de G nin içine sokabiliriz.Ama bu
> > > > 2 grup isomorf değildirler.
> > > >
> > > > Dediğin gibi vektör uzayları için doğru değil bu durum.Cisimlere
> > > > gelince: 2 cismi birbirinin içine sokabiliyosak karekteristikleri aynı
> > > > demektir.Demek ki karakteristlikleri ya p (asal) ya da 0.İlk durumda
> > > > Z_p üzerine 2. durumda da Q(rasyonel sayılar) üzerine vektör uzayı
> > > > olurlar.Demek ki bu durum da vektör uzayı durumuna indirgenebilir.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > > İyi tamam hoş da, sabit -1'ler (sabit -1 dizileri) birbirlerine
> > > > > gitmiyorlarsa birinin karekökünün olması diğerinin olmaması ne gibi
> > > > > bir çelişki yaratacak grupların izomorfik olması konusunda.
> > > > >
> > > > > Kurulacak bir izomorfizma altında bal gibi de G'deki (-1, -1, -1,
> ...
> > > > > ) elemanı karekökü olmayan bir elemana gidiyor olabilir. H'deki
> > > > > (-1,-1, ... ) elemanının da önimgesini al mesela (1, -1, -1, ... )
> > > > > yaptım.
> > > > >
> > > > > A:Vektör uzayları için bunun gibi hiçbir karşıörnek bulunamaz,
> > > > > mecburen iki vektör uzayı birbirlerine izomorfik oluyorlar. Bir
> vektör
> > > > > uzayını belirleyen (eşyapısal olarak) tek şey boyutudur (cisim belli
> > > > > olduktan sonra). Dolayısıyla eğer birbirlerine monomorfizmalar varsa
> > > > > bu durumda vektör uzaylarının boyutları eşit demektir (sonsuz da
> > > > > olabilir). Dolayısıyla vektör uzayları birbirlerine izomorf olurlar.
> > > > >
> > > > > Cisimler ve halkalar için ne olur bilemiyorum. Ancak az daha
> verdiğin
> > > > > örnek halkalar için bir karşıörnek oluşturacaktı. Eğer Z/7Z'yi Z/37Z
> > > > > içerisine halka olarak gömebilseydik. Çünkü halka olarak bakınca
> sabit
> > > > > -1 dizisinin yine sabit -1 dizisine gitmesi gerekecekti (çarpmanın
> > > > > birim elemanının toplamsal tersi yine çarpmanın birim elemanının
> > > > > toplamsal tersine gider). Ancak maalesef bu sefer monomorfizmaları
> > > > > aynı şekilde kuramıyoruz.
> > > > >
> > > > > 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > > >  1- Evet G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N  demek istedim
> > > > > >
> > > > > > 2-  -1  elemanı derken  Z_7 de 6 oluo bu Z_37 de ise  36 oluyor ve
> > > > > > çarpım grubunda bu elemanlardan oluşan sonsuz sabit -1 dizisi.Bu 2
> > > > > > grubunda tersleri devirmelidir ve sırasıyla Z_6 ya ve Z_36 ya
> > > > > > isomorftur.Bu gruplardaki  -1 ler  birbirlerine gidiyor
> > > > > > demedim.Aralarında morfizma var 1-1 kaydırmalar çünkü  Z_6 grubu
> > Z_36
> > > > > > nın içine giriyor o yüzden.Ben bu grupları çarpma olarak
> düşüneceğim
> > > > > > ama.
> > > > > >
> > > > > > 3-Genel olaral p asalsa -1 karedir ancak ve ancak p modulo 4=1
> ise.
> > > > > > Bu yüzden Z_37 de -1 kare ama Z_7 de değil.
> > > > > >
> > > > > > Q:Aynı soru halkalar ,cisimler ve vektör uzayları için de
> > doğrumudur?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > > > > Bazı noktaları anlamadım.
> > > > > > >
> > > > > > > 1. Bu basit bir şey herhalde ama G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N mi
> demek
> > > > > istedin?
> > > > > > >
> > > > > > > 2. -1 elemanı derken ne demek istiyorsun? Zadece Z_p* grubunda
> > olsan
> > > > > > > anlarım. Derecesi 2 olan yegane eleman demek istiyorsun da, G ya
> > da
> > > H
> > > > > > > gruplarında -1 ne demek, ve birinin -1'inin diğerininkine gitme
> > > > > > > zorunluluğu neden var?
> > > > > > >
> > > > > > > 2007/10/28, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > > > > >
> > > > > > > >  Evet S_3 örneğin doğru,ama fazla karşı örnek göz
> > > çıkarmaz.Birtanede
> > > > > > > benden:
> > > > > > > >
> > > > > > > > G=(Z_7)*x(Z_7)*N =(Z_6)x(Z_36)^N
> > > > > > > > H=(Z_37)*^N=(Z_36)^N
> > > > > > > >
> > > > > > > > Gene kaydırmalar bu 2 grup arasındaki 1-1 morfizmalardır çünkü
> > > > > > > > dediğin gibi (Z_7)* grubunu (Z_37)* nin içinde
> görebiliriz.Diğer
> > > > > biryandan
> > > > > > > G
> > > > > > > > de -1 elemanın karekökü yok ama H de var.
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > --
> > > > > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer,
> > to
> > > > > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow,
> > "Psychology
> > > of
> > > > > > > Science")
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology
> of
> > > > > Science")
> > > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > > Science")
> > >
> >
>
>