[MD-sorular] Matrislerle ilgili

[E. Mehmet Kıral]

A matrisimiz olsun.
A* matrisi de bunun devriği (karmaşıklardaysak eşlenik devriği).
Şu özellik A* matrisini belirler <Av, w> = <v, A*w>. Burada sivri
parantezlerle yazdığım şey iç çarpım.

Herhangi v ve w vektörleri için;
<v, w> = <A^(-1)Av, w> = <v, A*(A^(-1))*w>

Şimdi ilkini sonuncusundan çıkarırsak <v, (I - (A*(A^(-1))*)w> = 0
elde ederiz her w için.
Demek ki A*(A^(-1))* = I. Zira öyle olmasaydı bir w vektörü için
sağdaki ifade 0 olmazdı, v'yi de tam o 0 olmayan vektör alırdık ve iç
çarpım yozlaşmamış olduğundan bize pozitif bir sonuç verirdi.

Ama bu eşitlik de tam olarak (A*)^(-1) = (A^(-1))* olduğunu söylüyor.

NOT: Eğer vektör uzaylarının boyutu sonlu ise (ki nxn matris olduğuna
göre öyle) sadece TS = I olduğunu göstermek ST = I olduğunu da söyler.
Ancak vektör uzayının boyutu sonsuz olabilir. O zaman v = AA^(-1)v
diye başlamamız gerekiyordu ve aynı işlemler bize (A^(-1))*A* = I
eşitliğini verirdi. Yani herhangi bir lineer operatör için sonucumuz
geçerli.

2007/11/4, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
>
>
> A n*n lik bir matris olsun bir K cisimi üstüne.K nın cebirsel kapanışına
> geçelim,buna da L diyelim(K reeler ise L yi kompleksler alalım).Şimdi A
> ayrıca L katsayılı bir matristir.Soruyu L cisminde çözmek yeterli çünkü A
> matrisin tersi ve transpozunun katsayıları yine K cismi üstünedir.Şimdi L
> cebirsel kapalı olduğu için bir jordan-canonical formu vardır.Demek ki
> soruyu diagonelde bir sabit  a (a sıfır değil) olan,diagonelin üstünde 1
> olan ve diğer yerlerde 0 olan bir matrise indirgeyebiliriz.Bu yeni çıkan
> matrisin tersini hesaplamak ta ilkine göre daha basittir,direk denklem çözme
> ile hesaplanabilir.
>
>  Haydar.
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")