Re: [MD-sorular] oyle bir şey...

[E. Mehmet Kıral]

İkinci örnek oldukça kolay f(x) = 1/(x+1) olarak tanımlanmış olsun. Bu
durumda f'nin 0'dan sonsuza integrali sonsuz, oysa karesinin integrali
sonludur.

Kendisinin integrali sonlu ve karesininki sonsuz için de bir örnek bulunabilir:

f pozitif gerçel fonksiyonu şöyle tanımlanmış olsun.
x € (0,1] için 1/kök(x)
x € [1,oo) için 1/x^2

Bu fonksiyonun 0'dan sonsuza integrali sonlu olan ancak karesinin
integrali sonsuzdur.

Fonksiyonun sınırsız olması şarttır. f; pozitif gerçel değerli,
sınırlı, integrallenebilir bir fonksiyon olsun ve integral (0'dan
oo'a) f(x)dx = c < oo olsun.

Şimdi integral (0'dan oo'a) f^2 (x) dx < oo olduğunu kanıtlayacağız.

B = { x > 0 : f(x) > 1} kümesi olsun. İntegral sonlu olduğundan m(B),
yani B'nin ölçüsü, sonlu. Şimdi geri kalan kümede, ona da A diyelim
f^2(x) =< f(x). İntegrali A üzerinde ve B üzerinde olarak ikiye
ayırırsak (fonksiyonun integralinden bahsettiğimize göre ölçülebilir
olduğunu varsayıyorum dolayısıyla her iki küme de ölçülebilir kümeler)

integral (A üzerinde) f^2 (x) dx =< integral (A üzerinde) f(x) dx =< c

f fonksiyonu sınırlı, diyelim ki f(x) < M. Demek ki

integral (B üzerinde) f^2(x)dx =< m(B)*M

İkisini birleştirirsek integral (0'dan oo'a) f^2(x)dx < m(B)*M + c < oo.



Pozitif değerli olmasını koşmazsak büyük ihtimalle ilk sorduğun soruya
sınırlı bir fonksiyon örneği de verebiliriz. Tahminim sin(x) / kök(x)
gibi bir fonksiyonun işe yarayacağı yönünde, ancak hesabı yapmadım.

2007/11/25, ihsan yÿfffffccel <ihsan_einstein at yahoo.com>:
>
> Oyle bir fonksiyon bulun ki ...Pozitif olsun, 0 dan sonsuza integrali sonlu
> olsun. Ama ayni fonksiyonun karesinin integrali sonsuz olsun
> Simdi de tersini bulun.Karesi sonlu kendisi sonsuz olsun .
>
>
> ihsan (...)
>
>
>  ________________________________
> Yahoo! kullaniyor musunuz?
>  Istenmeyen postadan biktiniz mi? Istenmeyen postadan en iyi korunma Yahoo!
> Posta'da
> http://tr.mail.yahoo.com
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")