[MD-sorular] fonksiyonel denklem

17 Eki 2007 Çar 02:56:45 EEST

Anladığım kadarıyla sorumu nasıl soracağımı sormayı bile beceremedim. Öyle mi anlaşıldı anlayamadım ama iki denklemi de aynı anda sağlayan fonksiyonları kastetmedim. Mesela denklemlerden birini sağlayan fonksiyonlar var mıdır ve varsa nasıl fonksiyonlardır? (x ve y reel olsun, toplama da bildiğimiz toplama.) O haliyle sorunun oldukça karmaşık olduğuna atıf yapılıyor şurada: http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_functional_equation#Proof_of_the_existence_of_other_solutions. Deniyor ki:
Cauchy's functional equation is one of the simplest functional equations to represent, however its solution over the real numbers is extremely complicated. The equation is

  Over the rational numbers, it can be shown using elementary algebra that there is a single family of solutions  for any arbitrary constant c. This family of solutions applies over the reals also. Further constraints on  may preclude other solutions, for example:

    a..  is continuous (proven by Cauchy in 1821). This condition was weakened in 1875 by Darboux who showed that it was only necessary for the function to be continuous at one point. 
    b..  is monotonic on any interval. 
    c..  is bounded on any interval. 
  If, on the other hand, there are no further conditions imposed, then (assuming the axiom of choice) there are infinitely many other functions that satisfy the equation. This was proved in 1905 by Georg Hamel using Hamel bases. The fifth problem on Hilbert's list is a generalisation of this equation.

  -----------

  Şurada bir çalışma var: http://www.springerlink.com/content/h8167667v6800w0w/ Deniyor ki 

  Summary.  The equation   
  for real functions of a real variable, is studied in this paper on a triangular restricted domain in  . 

Diğer linkler: http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf (Bazı kanıtlar var.)

Kafamda ne yaptığımızı netleştiremedim. Linklerde çok zor deniyor. Biri kalkmış özel bir halde incelemiş, makale yazmış. Hamel Bases diyor. Kafam iyice karıştı. 

Yardımlarınız için teşekkür ederim.

Saygılarımla.

  ----- Original Message ----- 
  From: ali nesin 
  To: 'Kerem Altun' ; 'md-sorular' 
  Sent: Wednesday, October 17, 2007 2:04 AM
  Subject: RE: [MD-sorular] fonksiyonel denklem

  Demek ki halkanin gercel sayilar olduguna karar verdin. Tamam, olabilir.

  a = 0 ve 1 olabilir.

  Kimileyin de cozum bulunmaz. Cozumun olmamasi sorunun yanlis oldugu anlamina gemez.

  Halkayi Z/nZ (modulo n sayilar) olarak da alabilirsin. Ya da polinomlar halkasi...

  Ali

------------------------------------------------------------------------------

  From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
  Sent: Wednesday, October 17, 2007 1:51 AM
  To: ali nesin; md-sorular
  Subject: Re: [MD-sorular] fonksiyonel denklem

  Ama o zaman da sorunun cozumu yok gibi gorunuyor. Her x ve y icin f(x+y) = f(x)f(y) ise f(x)=a^x gibi birsey olmali. Ama o zaman da f(xy) = f(x)f(y) gecerli olmaz, her x ve y icin. Nerede yanlis dusunuyorum?

  Kerem

  On 10/17/07, ali nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:

  Eger x'li y'li bir denklemin basina bir sey getirilmemisse bu her x ve her y icin demektir, oyle bir anlasma vardir matematikte.

  Denklem elbette f'yi soruyor. (Fonksiyonel denklem.) Diferansiyel denklem gibi ama turev yok! Hangi f fonksiyonlari her x ve her y icin bu esitligi saglarlar?

  Eksik olan toplama ve carpmanin tanimlandigi halkanin ya da yapinin verilmemis olmasi.

  Yani her x ve y ama bu x ve y'ler nerede deger aliyorlar?

  Her ne ise, oldukca kolay bir problem besbelli.

  Ali

------------------------------------------------------------------------------

  From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
  Sent: Wednesday, October 17, 2007 1:01 AM
  To: Ali İlik; md-sorular
  Subject: Re: [MD-sorular] fonksiyonel denklem

  Eksiksiz sorulmadigi kesin. Hemen kanitlayayim, bunlarin adina denklem denildigine gore herhalde x ve y'yi bulacagiz. Ancak bu f'e gore degisir. Ornegin f(x) = x ise, denklemleri saglayan (x,y) noktalari duzlemde bir hiperbolun uzerinde olur. Ama mesela f(x) = 1 ise, duzlemdeki tum (x,y) noktalari denklemi saglar. 

  Tabii soruda f'i soruyor da olabilir, o zaman bunun adina denklem denmez, ozdeslik (identity) denir. Yaniliyor olabilirim, ama ben oyle biliyorum. Eger ozdeslikse basinda "her x ve y degeri icin" denmeli, ya da eger her deger icin degilse hangi degerler icin esitligin saglanacagi belirtilmeli. Yani bir eksik var kesin. 

  Kerem

  On 10/16/07, Ali İlik <aliilik at gmail.com > wrote:

  "f(x+y)=f(x)f(y) ve f(xy)=f(x)f(y)

  denklemleri nasıl çözülür?" 

  "sorusu" matematiksel olarak eksiksiz biçimde sorulmuş mudur? Değilse, nasıl sorulur ve yanıtı nedir?

  _______________________________________________
  MD-sorular e-posta listesi
  sorular at matematikdunyasi.org 
  http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular

------------------------------------------------------------------------------

  _______________________________________________
  MD-sorular e-posta listesi
  sorular at matematikdunyasi.org
  http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment.htm 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
İsim: kullanılamıyor
Tür: image/png
Boyut: 748 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment.png 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
İsim: kullanılamıyor
Tür: image/png
Boyut: 496 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment-0001.png 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
İsim: kullanılamıyor
Tür: image/png
Boyut: 333 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment-0002.png 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
İsim: kullanılamıyor
Tür: image/gif
Boyut: 731 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
İsim: kullanılamıyor
Tür: image/gif
Boyut: 198 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071017/6bdbfd71/attachment-0001.gif 