[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

[E. Mehmet Kıral]

Merhaba

Bir sonraki mesajın oldukça benziyor buna ama itiraz edeceğim bir konu
hariç. Ben yine de söyleyeyim onu. G'nin torsion elemanı olamayacağını
cart diye söyleyemeyiz bence. Çünkü G'nin trivial olmayan
altgruplarının aynı özelliği sağlayacağı aşikar değil. Ki birazdan
göreceğiz ki torsion eleman bal gibi de olabilir.

Herhangi bir K altgrubunda gof(K) =< K olacağı bariz değil. Eşit de
olabilecekleri gibi kesişimleri trivial bile olabilir, ya da hakikaten
biri diğerinin özaltkümesi olabilir.

Sanırım bir grup buldum bu yukarıdaki özellikleri sağlayan.

Şimdi sonsuz tane Z'nin direk çarpımı olmuyor, çünkü Z her
özaltgrubuna eşyapısal. Ancak Z yerine Z_6 = Z / 6Z alabiliriz.

G = (Z_6)^N olsun, Z_6 grubunun sayılabilir direk çarpımı.
H = (2Z_6) x (Z_6)^N olsun.

f ve g fonksiyonlarının ikisini de sağa kaydırma olarak alalım. Yani
f( (a1, a2, ....)  ) = (0, a1, a2, ... ) olsun. g'de H'den G'ye aynı
fonksiyon olsun.

İki homomorfizma da birebirdir ve örten değildir.

Şimdi de G ile H'nin eşyapısal olmadığını göstermeye geldi.

Olduğunu varsayalım. H'den G'ye bir izomorfizmamız olsun.

(2,0,0,0,0,0....) elemanını derecesi 3 olan bir elemana götürür bu
izomorfizma. Bu da bazı koordinatları. 2 ile 4 geri kalanı (varsa) 0
olan bir sonsuz vektördür.

Görüntü elemanının bir karekökü var. Oysa (2,0,0,0,0,0...) elemanının
yok. Demek ki böyle bir izomorfizma olamaz.

Bir anlamda Schröder-Bernstein teoreminin gruplar ve monomorfizmalar
için geçerli olmadığını göstermiş olduk böylece.


2007/10/27, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
>  Ben de biraz düşündüm ,aklıma gelenleri paylaşayım dedim sizle.
>
>  G den H ye monomorfizma olduğuna göre bir anlamda G yi H nin içinde
> bir alt grup
> olarak görebiliriz.Şimdi tekrar H den G ye gittiğimizde ,G nin içinde
> G ye eşytapısal öz alt bir grup buluruz.Bu gidip gelmeye sürekli devam
> edersek elimize şu özelliği sağlayan 2 grup geçer:
>
>  (*) G>G1>G2>...> Gk>...    Gk ve G eşyapısal
>  (*) H>H1>H2>...Hk>..         Hk ve H eşyapısal
>
>  Mesela bu 2 grubu da Z alabiliriz(çünkü Z>2Z>4Z>8Z... ve * özelliğini
> sağlar.) veya G ile Z eşyapısalsa H de Z ye eşyapısal olmak
> zorundadır,bu da kolayca gösterilebilir.
>
> Daha fazlası da var :G veya H nin trivial olmayan her hangi bir alt
> grubu da * özelliğini sağlar.Demek ki bu gruplarda torsion eleman
> olamaz,çünkü olsaydı sonlu bir alt grubu olurdu.
>
>  Z lerin direkt toplamı veya herhangi bir kardinalitedeki özgür grup
> * özelliğini sağlar.
> Eğer elimizde sadece  Z lerin direkt toplamı veya herhangi bir
> kardinalitedeki özgür grup varsa G ve H eşyapısaldır(çünkü  G ve H bu
> gruplar olmak zorunda ayrıca  Z lerin direct toplamı veya herhangi bir
> kardinalitedeki özgür grup eşyapısalsa kardinaliteleri aynıdır.) Başka
> * özelliğini sağlayan gruplar var mı bilmiyorum.
> Düşünelim birlikte.
>
>  Haydar..
>
>
>
>
>
>
>
>
> On 10/27/07, ayseu at gazi.edu.tr <ayseu at gazi.edu.tr> wrote:
> > Z den(tamsayılar) farklı yani Z ye eşyapılı olmayan sayılabilir sonsuz
> > elemana sahip bir grup (varsa tabi ) isini gorur ama ben de şimdi
> > bilmiyorum.
> >  Grup örneklerini hatırlamam lazım..
> > iyi calısmalar
> > ayse uyar
> >
> >
> >  "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com> dedi:
> >
> > > Şöyle bir grup, daha doğrusu iki grup var mıdır?
> >
> > f : G --> H ve
> > g: H --> G birer monomorfizma yani birebir eşleme olacaklar
> >
> > ancak G ile H eşyapısal olmayacaklar.
> >
> > Tabii böyle bir durumun mümkün olması için grupların sonsuz olması
> > gerekiyor en azından. Bir dakika uğraştım eşyapısal olmaları
> > gerektiğini gösteremedim. Bir Türk büyüğünün düsturundan hareketle
> > karşıörnek aramaya koyuldum. Lakin onu da bulamadım. Bir el atarsanız
> > sevinirim.
> >
> > --
> > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > Science")
> >
> >
> >
> >
> > --
> >
> >
> >
> >
> >
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")