[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
27 Eki 2007 Cmt 23:57:58 EEST


Özür dilerim fark etmemişim a = (2,0,0...) vektörünün yarısı var
(4,0,0...) vektörü. Ancak argümanı yine de kurtarabiliyoruz.
Çünkü görüntünün birden fazla yarısı var. Bir koordinatı 2 ise örneğin
o koordinata 1 ya da 4 gelebilir, ikisi de ayrı bir yarı çözümü
verirler. İzomorfik gruplara yakışmayan bir durum.
Bir koordinat 4 ise de 5 ile 2 almak benzer bir sonuç verir. Hatta
f(a)'da birden fazla 0'dan farklı koordinat varsa karekök çözümleri
sayısı üstel olarak artıyor.

Dediğim gibi ama öte yandan haklısın
(2Z_6) x (Z_6)^N = Z_3 x(Z_2 x Z_3)^N = Z_3^N x Z_2^N
Ve diğer G grubu da öyle.

2007/10/27, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> a = (2,0,0,0,..) olsun ve f olduğu düşünülen izomorfizma olsun.
> 3f(a) = 0 olmak zorunda.
> Dolayısıyla f(a)'nın tüm koordinatları 0, 2 ya da 4 ama bazıları 2 ya
> da 4 olmalı.
> Yani koordinatların yarısını alarak f(a)'nın karekökünü (ya da
> yarısını) alabiliriz ama a'nın yarısı H'de yok.
>
> Öte yandan haklısın da. Çıkamadım işin içinden
>
> 2007/10/27, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> >  ilkini yanlışlıkla attım,sonra düzelttim zaten,sağlayabilir yazdım
> > altgruplar için ve torsionu yazmadım.En azından sana bir fikir vermiş
> > oldum,ama :G = (Z_6)^N olsun, Z_6 grubunun sayılabilir direk çarpımı.
> > H = (2Z_6) x (Z_6)^N olsun.Görüntü elemanını nasıl bir karekökü
> > var.Aslında sen 2 grubu da N tane çarpım olarak görüyosun,izomorf
> > olmaları gerekmezmi.Yani Z_6 grubu Z_2 ve Z_3 ün çarpımı ve bu gruplar
> > kendileri üzerine vektör uzayı.Bide her vectör uzayının tabanı aynı
> > kardinalitededir.Bu da bu 2 grubun isomorf olduğunu söyler.
> >
> >
> > On 10/27/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > Merhaba
> > >
> > > Bir sonraki mesajın oldukça benziyor buna ama itiraz edeceğim bir konu
> > > hariç. Ben yine de söyleyeyim onu. G'nin torsion elemanı olamayacağını
> > > cart diye söyleyemeyiz bence. Çünkü G'nin trivial olmayan
> > > altgruplarının aynı özelliği sağlayacağı aşikar değil. Ki birazdan
> > > göreceğiz ki torsion eleman bal gibi de olabilir.
> > >
> > > Herhangi bir K altgrubunda gof(K) =< K olacağı bariz değil. Eşit de
> > > olabilecekleri gibi kesişimleri trivial bile olabilir, ya da hakikaten
> > > biri diğerinin özaltkümesi olabilir.
> > >
> > > Sanırım bir grup buldum bu yukarıdaki özellikleri sağlayan.
> > >
> > > Şimdi sonsuz tane Z'nin direk çarpımı olmuyor, çünkü Z her
> > > özaltgrubuna eşyapısal. Ancak Z yerine Z_6 = Z / 6Z alabiliriz.
> > >
> > > G = (Z_6)^N olsun, Z_6 grubunun sayılabilir direk çarpımı.
> > > H = (2Z_6) x (Z_6)^N olsun.
> > >
> > > f ve g fonksiyonlarının ikisini de sağa kaydırma olarak alalım. Yani
> > > f( (a1, a2, ....)  ) = (0, a1, a2, ... ) olsun. g'de H'den G'ye aynı
> > > fonksiyon olsun.
> > >
> > > İki homomorfizma da birebirdir ve örten değildir.
> > >
> > > Şimdi de G ile H'nin eşyapısal olmadığını göstermeye geldi.
> > >
> > > Olduğunu varsayalım. H'den G'ye bir izomorfizmamız olsun.
> > >
> > > (2,0,0,0,0,0....) elemanını derecesi 3 olan bir elemana götürür bu
> > > izomorfizma. Bu da bazı koordinatları. 2 ile 4 geri kalanı (varsa) 0
> > > olan bir sonsuz vektördür.
> > >
> > > Görüntü elemanının bir karekökü var. Oysa (2,0,0,0,0,0...) elemanının
> > > yok. Demek ki böyle bir izomorfizma olamaz.
> > >
> > > Bir anlamda Schröder-Bernstein teoreminin gruplar ve monomorfizmalar
> > > için geçerli olmadığını göstermiş olduk böylece.
> > >
> > >
> > > 2007/10/27, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > >  Ben de biraz düşündüm ,aklıma gelenleri paylaşayım dedim sizle.
> > > >
> > > >  G den H ye monomorfizma olduğuna göre bir anlamda G yi H nin içinde
> > > > bir alt grup
> > > > olarak görebiliriz.Şimdi tekrar H den G ye gittiğimizde ,G nin içinde
> > > > G ye eşytapısal öz alt bir grup buluruz.Bu gidip gelmeye sürekli devam
> > > > edersek elimize şu özelliği sağlayan 2 grup geçer:
> > > >
> > > >  (*) G>G1>G2>...> Gk>...    Gk ve G eşyapısal
> > > >  (*) H>H1>H2>...Hk>..         Hk ve H eşyapısal
> > > >
> > > >  Mesela bu 2 grubu da Z alabiliriz(çünkü Z>2Z>4Z>8Z... ve * özelliğini
> > > > sağlar.) veya G ile Z eşyapısalsa H de Z ye eşyapısal olmak
> > > > zorundadır,bu da kolayca gösterilebilir.
> > > >
> > > > Daha fazlası da var :G veya H nin trivial olmayan her hangi bir alt
> > > > grubu da * özelliğini sağlar.Demek ki bu gruplarda torsion eleman
> > > > olamaz,çünkü olsaydı sonlu bir alt grubu olurdu.
> > > >
> > > >  Z lerin direkt toplamı veya herhangi bir kardinalitedeki özgür grup
> > > > * özelliğini sağlar.
> > > > Eğer elimizde sadece  Z lerin direkt toplamı veya herhangi bir
> > > > kardinalitedeki özgür grup varsa G ve H eşyapısaldır(çünkü  G ve H bu
> > > > gruplar olmak zorunda ayrıca  Z lerin direct toplamı veya herhangi bir
> > > > kardinalitedeki özgür grup eşyapısalsa kardinaliteleri aynıdır.) Başka
> > > > * özelliğini sağlayan gruplar var mı bilmiyorum.
> > > > Düşünelim birlikte.
> > > >
> > > >  Haydar..
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > On 10/27/07, ayseu at gazi.edu.tr <ayseu at gazi.edu.tr> wrote:
> > > > > Z den(tamsayılar) farklı yani Z ye eşyapılı olmayan sayılabilir sonsuz
> > > > > elemana sahip bir grup (varsa tabi ) isini gorur ama ben de şimdi
> > > > > bilmiyorum.
> > > > >  Grup örneklerini hatırlamam lazım..
> > > > > iyi calısmalar
> > > > > ayse uyar
> > > > >
> > > > >
> > > > >  "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com> dedi:
> > > > >
> > > > > > Şöyle bir grup, daha doğrusu iki grup var mıdır?
> > > > >
> > > > > f : G --> H ve
> > > > > g: H --> G birer monomorfizma yani birebir eşleme olacaklar
> > > > >
> > > > > ancak G ile H eşyapısal olmayacaklar.
> > > > >
> > > > > Tabii böyle bir durumun mümkün olması için grupların sonsuz olması
> > > > > gerekiyor en azından. Bir dakika uğraştım eşyapısal olmaları
> > > > > gerektiğini gösteremedim. Bir Türk büyüğünün düsturundan hareketle
> > > > > karşıörnek aramaya koyuldum. Lakin onu da bulamadım. Bir el atarsanız
> > > > > sevinirim.
> > > > >
> > > > > --
> > > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > > > > Science")
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > > Science")
> > >
> >
>
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi