[MD-sorular] Teoreme sınır aranıyor.

[E. Mehmet Kıral]

Şöyle bir şey aklıma geldi,

G1 < G2 < G3 < ... ve tüm gruplar sonlu olsun.
Bu durumda tüm grupların birleşimi olan G de bir gruptur. Bir de
Gi'lerin G'de karakteristik (tüm otomorfizmalar altında sabit)
olduğunu varsayalım.

Ama aynı zamanda bir de H1 < H2 < H3 < ... olsun ve H de bunların
birleşimi olsun.

Eğer her Gi'yi H'i'ye götüren bir f_i izomorfizması varsa G'nin H'ye
izomorf olduğunu söyleyebiliriz.

(Kanıta inananlar kanıtı geçebilirler, asıl soracağım soru aşağıda)

Kanıt: Gi grubu G'de karakteristik olduğundan Gj'de de
karakteristiktir (i<j). Çünkü Gj'nin bir otomorfizmasından geri kalan
elemanları sabitleyerek G'nin otomorfizmasına ulaşırız ve bu
otomorfizma altında da Gi grubunun sabit kaldığını biliyoruz.
Dolayısıyla f_ j izomorfizması Gi grubunu H içerisinde karakteristik
bir gruba götürür. Yani i < j < k için (f_k)^-1o f_ j fonksiyonunu Gi
grubuna kısıtlarsak Gi grubunun bir otomorfizmasını elde ederiz. Ancak
Gi grubu sonlu olduğundan otomorfizma grubu da sonludur. Dolayısıyla
sonsuz tane j için f_j'nin Gi üzerine etkisi aynıdır.
Şimdi G1'den başlayıp G1 üzerine etkisi aynı olan sonsuz bir
izomorfizma dizisi buluruz. Sonra bu listeyi yine sonsuz kalacak
biçimde G2 üzerine de aynı şekilde etkiyen izomorfizmalara daraltırız.
En sonunda G grubundan H grubuna bir izomorfizmayı şu yolla elde
ederiz. Eğer bir g elemanı Gi grubunda ise. O zaman yukarıdaki
algoritmada i. adımda elde ettiğimiz sonsuz izomorfizma listesinden
bir tanesini seçer (hepsinin g'deki görüntüsü aynı zaten) ve g'ye
uygularız.
Bunun bir izomorfizma olduğu da kontrol edilebilir.

Bu teorem Prüfer p gruplarıyla ilgili çok benzer bir sorudan aklıma geldi.
Şimdi gelelim bu mesajı asıl gönderme sebebime. Bu teoremin
sınırlarını arıyorum. Gi'ler üzerine sonlu ve G'de karakteristik olma
özelliklerini koymuştum (gerçi sonlu olmaları elzem değildi,
otomorfizma gruplarının sonlu olması yeterli). Bunlar hakikaten
gerekli midir?

Bir de sanırım birleşimi herhangi bir sonsuz kardinal ve Aut(Gi)'leri
de daha küçük kardinallerden seçsek de benzer bir durumla karşı
karşıya kalırdık.

Ben ya karakteristik olma ya da |Aut(Gi)| < dizinin uzunluğu,
koşullarından birisi kaldırılınca neler olacağını görmek istiyorum.

Yani kısacası içiçe geçmiş ve her adımda birbirine izomorf iki grup
zinciri arıyorum öyle ki iki zincirin de en küçük üst sınırı
(birleşimleri) birbirlerine izomorf olmasın. Özetle bir karşıörnek
arıyorum ama yukarıdakileri söylemeseydim durup dururken karşıörnek
arayan deli konumuna düşmekten korktuğum için (Ali İlik sağolsun),
yukarıdaki açıklamaları gerekli buldum.

-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")