Re: [MD-sorular] Teoreme sınır aranıyor.

[Ali İlik]

"Özetle bir karşıörnek
arıyorum ama yukarıdakileri söylemeseydim durup dururken karşıörnek
arayan deli konumuna düşmekten korktuğum için (Ali İlik sağolsun),
yukarıdaki açıklamaları gerekli buldum."

Eh, madem bunu söyledin, konuya yabancı olanlar için bir açıklama yapayım. 
(Böyle bir açıklama yapılmak zorunda değil ama yapayım.) TMD 2007 Yaz 
Okulu'nda yaptığım taklitlerden biri de E. Mehmet Kıral'ın karşıörnek arama 
merakının taklidiydi. Çok fazla karşıörnek aramayı bir hastalık olarak 
adledip, Mehmet Kıral'ı deli rolünde tasvir etmiştim. Halbuki karşıörnek 
kavramının matematikte ne kadar önemli olduğu malumdur.

Şunu belirtmezsem olmaz. Haydar'la yazışmalarınızın çoğu kısmını anlamıyorum 
ancak zevkle izliyorum (Anlaşılamayıp zevkle yapılan şeyler vardır ya 
malum.).Ve sanırım bir çok liste üyesi de zevkle izliyordur hatta katılanlar 
da olacaktır sanırım.

Haydar'ın listeye üye olup, yazmaya başlaması listeye büyük katkı 
sağlayacaktır, sağlamaktadır. (RTE: Atılması gereken adımlar neyse bunları 
atıyoruz, atmaktayız.)

Ve bir not daha: Bilgi, Boğaziçi, Bilkent, ODTÜ vb. üniversitelerle diğer 
üniversiteler arasındaki fark burada da belli oluyor. Ya da kendimi 
eleştiriyorum, tembellik etmişim bu yaşa kadar. Hem de çok. Üniversite farkı 
değil belki bu, ya da etkisi az üniversitenin bilemem. Çalışmak ya da 
çalışmamak. Yazdıklarınızda muhakkak ki çok güzel derinlikler var ve zor 
değil, farkındayım. Biraz ya da çok: çalışmak sadece.. Bir an önce soyut 
cebirim zehir gibi olmalı ve yazdıklarınızı anlamalıyım. TMD yazokulunda da 
tembellik ettiğim belli oluyor! Yoksa yazdıklarınızın hepsi anlatıldı orada, 
malumdur! Çok geri kalmışım çook çok...

Yukarıdaki anlattıklarım kafa patlattıysa af dileyip, mesajın bu güzel 
tartışmanıza teşekkür mesajı olarak algılanmasını rica etmekteyim.

Saygılarımla.

----- Original Message ----- 
From: "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com>
To: "md-sorular" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Monday, October 29, 2007 11:57 AM
Subject: [MD-sorular] Teoreme sınır aranıyor.


> Şöyle bir şey aklıma geldi,
>
> G1 < G2 < G3 < ... ve tüm gruplar sonlu olsun.
> Bu durumda tüm grupların birleşimi olan G de bir gruptur. Bir de
> Gi'lerin G'de karakteristik (tüm otomorfizmalar altında sabit)
> olduğunu varsayalım.
>
> Ama aynı zamanda bir de H1 < H2 < H3 < ... olsun ve H de bunların
> birleşimi olsun.
>
> Eğer her Gi'yi H'i'ye götüren bir f_i izomorfizması varsa G'nin H'ye
> izomorf olduğunu söyleyebiliriz.
>
> (Kanıta inananlar kanıtı geçebilirler, asıl soracağım soru aşağıda)
>
> Kanıt: Gi grubu G'de karakteristik olduğundan Gj'de de
> karakteristiktir (i<j). Çünkü Gj'nin bir otomorfizmasından geri kalan
> elemanları sabitleyerek G'nin otomorfizmasına ulaşırız ve bu
> otomorfizma altında da Gi grubunun sabit kaldığını biliyoruz.
> Dolayısıyla f_ j izomorfizması Gi grubunu H içerisinde karakteristik
> bir gruba götürür. Yani i < j < k için (f_k)^-1o f_ j fonksiyonunu Gi
> grubuna kısıtlarsak Gi grubunun bir otomorfizmasını elde ederiz. Ancak
> Gi grubu sonlu olduğundan otomorfizma grubu da sonludur. Dolayısıyla
> sonsuz tane j için f_j'nin Gi üzerine etkisi aynıdır.
> Şimdi G1'den başlayıp G1 üzerine etkisi aynı olan sonsuz bir
> izomorfizma dizisi buluruz. Sonra bu listeyi yine sonsuz kalacak
> biçimde G2 üzerine de aynı şekilde etkiyen izomorfizmalara daraltırız.
> En sonunda G grubundan H grubuna bir izomorfizmayı şu yolla elde
> ederiz. Eğer bir g elemanı Gi grubunda ise. O zaman yukarıdaki
> algoritmada i. adımda elde ettiğimiz sonsuz izomorfizma listesinden
> bir tanesini seçer (hepsinin g'deki görüntüsü aynı zaten) ve g'ye
> uygularız.
> Bunun bir izomorfizma olduğu da kontrol edilebilir.
>
> Bu teorem Prüfer p gruplarıyla ilgili çok benzer bir sorudan aklıma geldi.
> Şimdi gelelim bu mesajı asıl gönderme sebebime. Bu teoremin
> sınırlarını arıyorum. Gi'ler üzerine sonlu ve G'de karakteristik olma
> özelliklerini koymuştum (gerçi sonlu olmaları elzem değildi,
> otomorfizma gruplarının sonlu olması yeterli). Bunlar hakikaten
> gerekli midir?
>
> Bir de sanırım birleşimi herhangi bir sonsuz kardinal ve Aut(Gi)'leri
> de daha küçük kardinallerden seçsek de benzer bir durumla karşı
> karşıya kalırdık.
>
> Ben ya karakteristik olma ya da |Aut(Gi)| < dizinin uzunluğu,
> koşullarından birisi kaldırılınca neler olacağını görmek istiyorum.
>
> Yani kısacası içiçe geçmiş ve her adımda birbirine izomorf iki grup
> zinciri arıyorum öyle ki iki zincirin de en küçük üst sınırı
> (birleşimleri) birbirlerine izomorf olmasın. Özetle bir karşıörnek
> arıyorum ama yukarıdakileri söylemeseydim durup dururken karşıörnek
> arayan deli konumuna düşmekten korktuğum için (Ali İlik sağolsun),
> yukarıdaki açıklamaları gerekli buldum.
>
> -- 
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>


--------------------------------------------------------------------------------


_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular