[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

[haydar göral]

 Evet haklısın dikkatsizlik etmişim.Peki şu gruplar oluyormu?:

  G= 2 elemanlı özgür grup olsun =x ve y ile gerilsin
  H= 3 elemanlı özgür grup olsun = x ,y ve z ile gerilsin

  G den H ye x ->x e ve y->y ye götüren fonksiyon 1-1 morfizmadır.
  H den G ye x->x^2 , y->xy ve z->y^2  yollayan fonksiyon morfizmadır
ve 1-1 dir,çünkü:
   H deki bir eleman x^i1y^i1z^i1...x^iky^ikz^ik şeklindedir ve bu
elemanun G deki görüntüsü 1 ise bu elemanda 1 dir.Çünkü G de bu
elemanların karşılığını koyunca
x ve y nin güçlerini arttırmaktan başka birşey yapmayız.

 Şimdi yine yukardaki 2 özgür grubu düşünelim.Aynı şekilde G grubunu H
nin içinde görebiliriz.Bide G grubunun komütator alt grubu sonsuz
elemanlı özgür gruptur demekki H yi de G nin içine sokabiliriz.Ama bu
2 grup isomorf değildirler.

Dediğin gibi vektör uzayları için doğru değil bu durum.Cisimlere
gelince: 2 cismi birbirinin içine sokabiliyosak karekteristikleri aynı
demektir.Demek ki karakteristlikleri ya p (asal) ya da 0.İlk durumda
Z_p üzerine 2. durumda da Q(rasyonel sayılar) üzerine vektör uzayı
olurlar.Demek ki bu durum da vektör uzayı durumuna indirgenebilir.





On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> İyi tamam hoş da, sabit -1'ler (sabit -1 dizileri) birbirlerine
> gitmiyorlarsa birinin karekökünün olması diğerinin olmaması ne gibi
> bir çelişki yaratacak grupların izomorfik olması konusunda.
>
> Kurulacak bir izomorfizma altında bal gibi de G'deki (-1, -1, -1, ...
> ) elemanı karekökü olmayan bir elemana gidiyor olabilir. H'deki
> (-1,-1, ... ) elemanının da önimgesini al mesela (1, -1, -1, ... )
> yaptım.
>
> A:Vektör uzayları için bunun gibi hiçbir karşıörnek bulunamaz,
> mecburen iki vektör uzayı birbirlerine izomorfik oluyorlar. Bir vektör
> uzayını belirleyen (eşyapısal olarak) tek şey boyutudur (cisim belli
> olduktan sonra). Dolayısıyla eğer birbirlerine monomorfizmalar varsa
> bu durumda vektör uzaylarının boyutları eşit demektir (sonsuz da
> olabilir). Dolayısıyla vektör uzayları birbirlerine izomorf olurlar.
>
> Cisimler ve halkalar için ne olur bilemiyorum. Ancak az daha verdiğin
> örnek halkalar için bir karşıörnek oluşturacaktı. Eğer Z/7Z'yi Z/37Z
> içerisine halka olarak gömebilseydik. Çünkü halka olarak bakınca sabit
> -1 dizisinin yine sabit -1 dizisine gitmesi gerekecekti (çarpmanın
> birim elemanının toplamsal tersi yine çarpmanın birim elemanının
> toplamsal tersine gider). Ancak maalesef bu sefer monomorfizmaları
> aynı şekilde kuramıyoruz.
>
> 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> >  1- Evet G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N  demek istedim
> >
> > 2-  -1  elemanı derken  Z_7 de 6 oluo bu Z_37 de ise  36 oluyor ve
> > çarpım grubunda bu elemanlardan oluşan sonsuz sabit -1 dizisi.Bu 2
> > grubunda tersleri devirmelidir ve sırasıyla Z_6 ya ve Z_36 ya
> > isomorftur.Bu gruplardaki  -1 ler  birbirlerine gidiyor
> > demedim.Aralarında morfizma var 1-1 kaydırmalar çünkü  Z_6 grubu Z_36
> > nın içine giriyor o yüzden.Ben bu grupları çarpma olarak düşüneceğim
> > ama.
> >
> > 3-Genel olaral p asalsa -1 karedir ancak ve ancak p modulo 4=1 ise.
> > Bu yüzden Z_37 de -1 kare ama Z_7 de değil.
> >
> > Q:Aynı soru halkalar ,cisimler ve vektör uzayları için de doğrumudur?
> >
> >
> >
> > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > Bazı noktaları anlamadım.
> > >
> > > 1. Bu basit bir şey herhalde ama G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N mi demek
> istedin?
> > >
> > > 2. -1 elemanı derken ne demek istiyorsun? Zadece Z_p* grubunda olsan
> > > anlarım. Derecesi 2 olan yegane eleman demek istiyorsun da, G ya da H
> > > gruplarında -1 ne demek, ve birinin -1'inin diğerininkine gitme
> > > zorunluluğu neden var?
> > >
> > > 2007/10/28, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > >
> > > >  Evet S_3 örneğin doğru,ama fazla karşı örnek göz çıkarmaz.Birtanede
> > > benden:
> > > >
> > > > G=(Z_7)*x(Z_7)*N =(Z_6)x(Z_36)^N
> > > > H=(Z_37)*^N=(Z_36)^N
> > > >
> > > > Gene kaydırmalar bu 2 grup arasındaki 1-1 morfizmalardır çünkü
> > > > dediğin gibi (Z_7)* grubunu (Z_37)* nin içinde görebiliriz.Diğer
> biryandan
> > > G
> > > > de -1 elemanın karekökü yok ama H de var.
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > > Science")
> > >
> >
>
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>