[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

[E. Mehmet Kıral]

Aslında yaptığın homomorfizma kelimelerin uzunluğunu kısaltabiliyor,
misal x^-1 y z^-1 kelimesini alıyor ve x^-2 xy y^-2 = x^-1 y^-1 yapıyor.

Öte yandan yine de bir monomorfizma, zira çekirdeği tırışkadan. (Yani
kerneli 1).
Açıklaması şöyle: y'nin kuvveti 0, 1 ya da -1'den farklı olursa
kendiliğinden ortada bir y ya da y^-1 kıstırıyoruz yok edemediğimiz.
Bu üç durumda da hiçbir kelimenin görüntüsünün 1 olmadığını görebiliriz.

E tamam şimdi iki grubu birbirinin içine sokmuş olduk ve işimiz bitti,
izomorfik olmadılarını da biliyoruz üstelik, birinin 2 üreteci varken
diğerinin 3 üreteci var.
Bir karşıörnek buldun yani.

Bir sonraki paragrafı neden yazdın peki, komütatör altgrupla ilgili
olanı. Biraz daha açar mısın orada yazdıklarını, hem ne dediğini
anlamadım hem de neden daha bir şey demen gerekiyor onu da anlamadım.

Cisim konusuna gelince, doğru değil yazdığın. İzomorfik olan vektör
uzayı yapısı, cismin çarpımsal yapısını korumayabilir vektör uzayı
izomorfizması. Hatta asal cismi üzerine aynı boyutlu ama eşyapısal
olmayan cisimler de mevcuttur. Q(kök(2)) ile Q(kök(3)) örneğin. İkisi
de Q üzerine 2 boyutlu vektör uzayları, dolayısıyla vektör uzayı
olarak izomorfikler. Ancak birinde 3'ün karekökü var diğerinde yok.


2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
>  Evet haklısın dikkatsizlik etmişim.Peki şu gruplar oluyormu?:
>
>  G= 2 elemanlı özgür grup olsun =x ve y ile gerilsin
>  H= 3 elemanlı özgür grup olsun = x ,y ve z ile gerilsin
>
>  G den H ye x ->x e ve y->y ye götüren fonksiyon 1-1 morfizmadır.
>  H den G ye x->x^2 , y->xy ve z->y^2  yollayan fonksiyon morfizmadır
> ve 1-1 dir,çünkü:
>   H deki bir eleman x^i1y^i1z^i1...x^iky^ikz^ik şeklindedir ve bu
> elemanun G deki görüntüsü 1 ise bu elemanda 1 dir.Çünkü G de bu
> elemanların karşılığını koyunca
> x ve y nin güçlerini arttırmaktan başka birşey yapmayız.
>
>  Şimdi yine yukardaki 2 özgür grubu düşünelim.Aynı şekilde G grubunu H
> nin içinde görebiliriz.Bide G grubunun komütator alt grubu sonsuz
> elemanlı özgür gruptur demekki H yi de G nin içine sokabiliriz.Ama bu
> 2 grup isomorf değildirler.
>
> Dediğin gibi vektör uzayları için doğru değil bu durum.Cisimlere
> gelince: 2 cismi birbirinin içine sokabiliyosak karekteristikleri aynı
> demektir.Demek ki karakteristlikleri ya p (asal) ya da 0.İlk durumda
> Z_p üzerine 2. durumda da Q(rasyonel sayılar) üzerine vektör uzayı
> olurlar.Demek ki bu durum da vektör uzayı durumuna indirgenebilir.
>
>
>
>
>
> On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > İyi tamam hoş da, sabit -1'ler (sabit -1 dizileri) birbirlerine
> > gitmiyorlarsa birinin karekökünün olması diğerinin olmaması ne gibi
> > bir çelişki yaratacak grupların izomorfik olması konusunda.
> >
> > Kurulacak bir izomorfizma altında bal gibi de G'deki (-1, -1, -1, ...
> > ) elemanı karekökü olmayan bir elemana gidiyor olabilir. H'deki
> > (-1,-1, ... ) elemanının da önimgesini al mesela (1, -1, -1, ... )
> > yaptım.
> >
> > A:Vektör uzayları için bunun gibi hiçbir karşıörnek bulunamaz,
> > mecburen iki vektör uzayı birbirlerine izomorfik oluyorlar. Bir vektör
> > uzayını belirleyen (eşyapısal olarak) tek şey boyutudur (cisim belli
> > olduktan sonra). Dolayısıyla eğer birbirlerine monomorfizmalar varsa
> > bu durumda vektör uzaylarının boyutları eşit demektir (sonsuz da
> > olabilir). Dolayısıyla vektör uzayları birbirlerine izomorf olurlar.
> >
> > Cisimler ve halkalar için ne olur bilemiyorum. Ancak az daha verdiğin
> > örnek halkalar için bir karşıörnek oluşturacaktı. Eğer Z/7Z'yi Z/37Z
> > içerisine halka olarak gömebilseydik. Çünkü halka olarak bakınca sabit
> > -1 dizisinin yine sabit -1 dizisine gitmesi gerekecekti (çarpmanın
> > birim elemanının toplamsal tersi yine çarpmanın birim elemanının
> > toplamsal tersine gider). Ancak maalesef bu sefer monomorfizmaları
> > aynı şekilde kuramıyoruz.
> >
> > 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > >  1- Evet G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N  demek istedim
> > >
> > > 2-  -1  elemanı derken  Z_7 de 6 oluo bu Z_37 de ise  36 oluyor ve
> > > çarpım grubunda bu elemanlardan oluşan sonsuz sabit -1 dizisi.Bu 2
> > > grubunda tersleri devirmelidir ve sırasıyla Z_6 ya ve Z_36 ya
> > > isomorftur.Bu gruplardaki  -1 ler  birbirlerine gidiyor
> > > demedim.Aralarında morfizma var 1-1 kaydırmalar çünkü  Z_6 grubu Z_36
> > > nın içine giriyor o yüzden.Ben bu grupları çarpma olarak düşüneceğim
> > > ama.
> > >
> > > 3-Genel olaral p asalsa -1 karedir ancak ve ancak p modulo 4=1 ise.
> > > Bu yüzden Z_37 de -1 kare ama Z_7 de değil.
> > >
> > > Q:Aynı soru halkalar ,cisimler ve vektör uzayları için de doğrumudur?
> > >
> > >
> > >
> > > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > Bazı noktaları anlamadım.
> > > >
> > > > 1. Bu basit bir şey herhalde ama G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N mi demek
> > istedin?
> > > >
> > > > 2. -1 elemanı derken ne demek istiyorsun? Zadece Z_p* grubunda olsan
> > > > anlarım. Derecesi 2 olan yegane eleman demek istiyorsun da, G ya da H
> > > > gruplarında -1 ne demek, ve birinin -1'inin diğerininkine gitme
> > > > zorunluluğu neden var?
> > > >
> > > > 2007/10/28, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > >
> > > > >  Evet S_3 örneğin doğru,ama fazla karşı örnek göz çıkarmaz.Birtanede
> > > > benden:
> > > > >
> > > > > G=(Z_7)*x(Z_7)*N =(Z_6)x(Z_36)^N
> > > > > H=(Z_37)*^N=(Z_36)^N
> > > > >
> > > > > Gene kaydırmalar bu 2 grup arasındaki 1-1 morfizmalardır çünkü
> > > > > dediğin gibi (Z_7)* grubunu (Z_37)* nin içinde görebiliriz.Diğer
> > biryandan
> > > > G
> > > > > de -1 elemanın karekökü yok ama H de var.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > > > Science")
> > > >
> > >
> >
> >
> > --
> > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> > Science")
> >
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")