Re: [MD-sorular] Rv: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 53, Konu 2

[Kerem Altun]

(1) Reel sayilarda elbette vardir. Sizin de yazdiginiz gibi kureyle duzlemin
arakesiti bir cemberdir, cemberin uzerindeki her nokta bu iki denklemi de
saglar.

Yalniz bu arakesit cemberi sizin yazdiginiz denklemle belirlenmez. Yani bir
tek o denklem yetmez, 3 boyutlu uzayda bir egriyi belirlemek icin iki
denklem gerekir. Zaten o iki denklem de soruda verilmis. Sizin yazdiginiz
ucuncu denklem zaten o iki denklemden cikiyor (eger islem hatasi yoksa, bana
var gibi geldi).

(2) Cember duzlemin uzerinde olmali. Cemberin merkezi de, kurenin
merkezinden duzleme cizilen dik dogru uzerinde olmali. Yani bu dogruyla
duzlemin kesisimi, cemberin merkezidir. Buradan cemberin merkezi
(2/3,2/3,2/3) noktasi olarak bulunur. Cemberin yaricapini da bulabilirsiniz.
Kurenin yaricapi R, cemberin yaricapi r, kure merkezinin duzleme uzakligi h
olsun. r^2+h^2=R^2 esitligi gecerlidir. Buradan r=kok(2/3) cikar. Demek ki
cember, merkezi (2/3,2/3,2/3) noktasi olan, yaricapi kok(2/3) olan, x+y+z=2
duzlemi uzerindeki cemberdir.

Simdi, duzlemin 1. bolgedeki kismini cizin. Bu, koseleri (0,0,2), (0,2,0),
(2,0,0) noktalari olan eskenar ucgendir. Biraz dikkatli bir cizimle
aradigimiz cemberin, bu ucgenin ic teget cemberi oldugu gorulur. Yani z'nin
en kucuk degeri 0'dir.

Aslinda boyle cozmedim ben bu soruyu, ama benim yontemimi begenmeyenler olur
diye bu yukaridakini yazdim. Soyle de cozulebilir: bahsi gecen kureyle
duzlemi cizerseniz, z'nin en kucuk oldugu noktada x=y olmasi gerektigini
gorursunuz. 2x^2+z^2=2 ve 2x+z=2 denklemlerini ortak cozup z'nin iki
degerinden kucuk olanini alirsaniz yine z=0 cikar.

Kerem



On 10/31/07, Ahmet Delil <ahmet.delil at bayar.edu.tr> wrote:
>
> Merhaba,
>
> x^2+y^2+z^2=2 ve x+y+z=2 denklem sisteminde z nin reel sayılardaki minimum
> değeri nedir şeklinde bir soru aldım.
>
> (1) (x,y,z) nin (1,0,1), (1,1,0) ve (0,1,1) haricinde çözümü var mıdır
> acaba?
>
> (2) Bu iki denkleme bir küre ile bir düzlemin arakesiti gözüyle de
> bakılabilir. Arakesit x^2+y^2+xy-2x-2y+1=0 (döndürülmüş) çemberidir.
> Çemberin neresinde z en küçüktür, diye mi bakmalı probleme? Bu durumda çözüm
> ne olur?
>
> Ne dersiniz?
>
> Selamlar,
> Ahmet
>
>
> ________________________________________________
> Message sent using CBUWebmail 2.2.3
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20071031/b49c4efb/attachment.htm