[MD-sorular] t(d)emet sorusuna toplu yorum

[Ali İlik]

"teğetliğin tanımı nasıl yapılır?"



            Mehmet Kıral'ın manifolda ilişkin yorumuna bir ek olacak alttaki
paragraf. Çok farklı şeyler söylemeyeceğim aslında.



            Diferensiyel geometriden bahsediyorsak, türevlenebilir bir
manifoldun her noktasına bir tanjant uzayı ilişkilendirebiliriz. Bu tanjant
uzayının elemanlarına tanjant vektörler denir. O vektörlerden herhangi
biriyle aynı doğrultuda olan bir doğruya da teğet denir. Bir manifoldun bir
noktada birden fazla teğeti olabilir yani. Zaten adı üzerinde: tanjant
UZAYI. Tanjant ile teğet birbirine yakın kavramlar olarak düşünebilir
burada. Zaten malumdur ki ingilizcede tangent kelimesi hem tanjant hem de
teğet anlamına gelir.



            http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space linkinde bir de
cebirsel geometride teğet kavramından bahsedilmiş.



"Ek olarak 4. dereceden bir polinom fonksiyon x eksenini 3 noktada kesiyorsa
x ekseni fks.nu 3 noktada kestiği için fks.na teğet değildir  mi
diyeceğiz? "



            Diyemeyiz. x-ekseninin fonksiyona teğet olduğu bir nokta
olabilir.



            "y = x dogrusu, y = sin(x) egrisine x = 0 noktasinda teget
midir?"



            Teğettir.



            "Kendisini kesmeyen bir egrinin birinci turevinin tanimli oldugu
noktada teget vektoru vardir, teget vektoru olan noktada da birinci turevi
vardir diye biliyorum ben, yaniliyorsam birisi duzeltir mutlaka. Ya da belki
teget kavrami zaten egrinin fonksiyonunun birinci turevi varsa
tanimlaniyordur, bahsettigim kitapta yazdigi gibi."



            Aynen öyle. Teğet kavramı zaten "kirişlerin limiti"
felsefesinden çıkmıştır. Türevin geometrik yorumu anlatılırken zaten kiriş
çizilir ve "Yavaş yavaş teğet olur." denir bildiğimiz gibi.



            "Diğer yandan merak ettiğim bir konu da bir fonksiyonun dönüm
noktasındaki teğeti.
geometrik olarak çizimi mümkün gözükmüyor. matematiksel olarak mümkün mü?"



            Geometrik olarak mümkünse matematiksel olarak da mümkündür.
Matematik geometriyi kapsar. Geometrik olan ama matematiksel olmayan bir şey
yoktur. Geometrik olan derken kabataslak yapılan geometrik yorumları
kastetmiyorum. Bir geometrik yorumun geometrik olması için arkasında tam,
eksiksiz matematiksel(!) yorumlarla verilmesi lazımdır.


            "Teğeti, geometrik ve matematiksel diye ayırmak ne derece doğru
bilmiyorum ama verilen örnekler böyle düşünmeme neden oldu."

            Teğet teğettir. "Geometrik teğet-matematiksel teğet" diye bir
şeyi ilk defa duyuyorum.



            "Teğet -türev ilişkisini biraz daha açık şekilde ortaya
koyabilir miyiz?"



            Şöyle yapalım. Manifoldlar için verilen en genel tanımı R^2'ye
(düzleme) indirgeyelim ve için rahat etsin:



f, R^2'de (Rkare'nin bir altkümesinden yine Rkare'nin bir altkümesine
tanımlı) bir fonksiyon olsun. (x_0, f(x_0)) noktasından geçen ve eğimi f
'(x_0) olan doğruya, f fonksiyonunun x_0 noktasındaki teğeti denir.



            Bu teğet doğrusunun felsefesi şudur: Bu doğru, eğrinin
(fonksiyon tüm tanım kümesinde bir eğri olmayabilir ama x_0'da teğeti
olabilmesi için x_0'da türevli olmalıdır; yani sürekli olmalıdır ve netekim
de x_0'ın bir komşuluğunda fonksiyon aynı zamanda bir eğri olmalıdır) o
noktada hangi doğru gibi davrandığını söyler. Davrandığı derken şunu
kastediyorum. Düzlemde her noktada türevlenebilir bir eğriyi aslında
doğrularla ifade edebiliriz. Şöyle ki: O eğriyi çizmek yerine, o eğrinin her
noktadaki teğet ve normallerini çizsek yeter. Demek ki düzlemde
türevlenebilir bir eğri aslında teğet-normal kesişimlerinden başka bir şey
değildir. İşte bir noktadaki teğet de o eğriyi bu şekilde dik doğrularla
çizerken o noktada kullandığımız iki doğrudan biridir.



            Eğrinin bir noktadaki teğeti (Ya da "teğet doğrusu" denir bazen.
Eş anlamlı.), eğriyi o noktada kesebilir. (Doğruyu bıçak gibi düşünürsek,
doğru eğriyi iki parçaya ayırır.) Başka noktada da kesebilir. Bu eğrinin ve
doğrunun bileceği bir iştir. Bir noktada teğet, o noktanın sonsuz küçük bir
komşuluğunu ilgilendirir. Varsın başka 1000 noktada kessin, sorun değil.



            Bir eğrinin büküm noktasındaki teğetinin eğriyi kesmesi hiç ama
hiç de tesadüf değil. Büküm noktasının bir başka tanımı da "O noktadaki
teğeti eğriyi kesen" nokta olarak verilebilir. Yani bir noktadaki teğet,
eğriyi kesiyorsa o nokta büküm noktasıdır. Tersi de doğru. Kaçarı yok.



            "Tegetligin bir tanimi da, dogruyu belli bir istikamete dogru
hafifce
kaydirinca kesisim sayisinin artmasi olabilir."



             Doğru için geçerli olmaz bu. Bir doğrunun bir noktadaki teğeti
kendisidir ve kendisini sonsuz çoklukta noktada keser. Kaydırınca bırakın
kesişim sayısının artmasını, azalır. Kesişen iki doğru elde edilir.



            Doğru demeti konusunu şöyle ele alırsak özü daha rahat
anlaşılır:



Doğrularımızı d_1: y=m_1x+n_1 ve d_2: y=m_2x+n_2 olarak yazalım.



Buradan y-m_1x-n_1=0

               y-m_2x-n_2=0



denklemlerini sırasıyla t_1 ve t_2 ile çarpalım. Böylece,
t_1(y-m_1x-n_1)+t_2(y-m_2x-n_2)=0 elde ederiz. Burada mesela t_2'yi sıfır ve
t_1'i bir seçersek, d_1 doğrusunu elde ederiz. t_1'i sıfır, t_2'yi bir
seçersek de d_2 doğrusunu elde ederiz. t_1=t_2=1 seçersek eğimi (m_1+m_2)/2
ve y eksenini (n_1+n_2)/2 olan doğruyu elde ederiz.



            Demek ki t_1 ve t_2 seçimlerimiz bize hangi doğrunun eğiminden
"ne kadar alacağımızı" söylüyor. Ve böylelikle bulacağımız doğrunun eğimi
şekilleniyor. Noktamız zaten standard. Nokta derken başlangıçta verilen iki
doğrunun kesişim noktasını kastediyorum. Böylelikle t_1 ve t_2 seçimimize
göre yeni bir doğru buluyoruz. Ve bunu karışım problemleri gibi yaptık.
Zaten denklem açılırsa, karışım problemlerinde lisede veya kimya derslerinde
verilen formül çıkar.



            Ezberden bu şekilde kurtulabiliriz.



            Ancak mesela ezber versiyondaki t'yi 1 almak hiç de eğimi önceki
doğruların eğimlerinin aritmetik ortalaması olan bir doğruyu vermez. Orada
İhsan'ın yorumundaki m(*ax + by + c) + n(dx + ey + f) = 0 **ifadesinde her
iki yan m'ye bölünerek n/m=t denilir ve Rasim senin verdiğin t'li ezber
denklemi elde edilir. Ama her iki yan m'ye bölünürken d_1'i seçme
özgürlüğümüz kısıtlanır. Mesela asla d_2 doğrusunu elde edemeyiz! t'ye ne
deyip de d_2 doğrusunu bulacağız ki? Hadi sıfır desek d_1 doğrusunu buluruz.
*

* *

*            Bunu dershanelerde, liselerde pat diye demet denklemi olarak
vermiyorlar mıydı anca yıllar sonra anladım. Kendileri de bilmiyorlar ki ne
yapsınlar. Ne büyük acıydı o zaman. Anlayamamak kadar acı pek az şey var
galiba. *

* *

*            Ali*
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070908/16d63be2/attachment.htm