[MD-sorular] diafont..

[fatihk cansu]

Soru: ax+by=c  denkleminde (a,b)=d böler c ise sonsuz çözüm vardır.. xo ve yo   herhangi iki çözüm ise diğer tüm çözümler  x=xo+(b/d).k ve y=yo-(a/d).k   dir  son yazılan iki bağıntı nasıl elde edilir?      Yukarıdaki soruda muhtemelen yazan arkadaş unutmuş bazı eksikler var kanaatimce. Öncelikle a,b,x,y sayılarının doğal sayımı tamsayımı yoksa reel sayımı olduğu konusunda bilbilgi yok. Ayrıca ebob (a,b)|d olduğu durumda ancak çözüm vardır. Örneğin 3x-6y+15z=7 denklemini ele alalım (Bu arada denklemimiz bir diafont denklemi) burada ebob (3,6,15)=3 dür ve 3bölmez7 durumu vardır. Demekki bu denklemin tamsayılar kümesinde çözümü yoktur. Aslında çözüm öklid algoritması ilede kolayca yapılabilirdi. Ancak burada bir tamsayı çözümünün olmadığını görmek için eşitliğin 2 tarafınında mod3 te değerlendirilmesi daha pratik olacaktır. aslında lafı daha fazla uzatmadan genel bir tanım verip daha sonrada bu tanım üzerinden konuşmak daha mantıklı olacaktır sanırım. Tanım: a b c x y z ve m elelmanlarının hepside birer tamsayı olarak verilsin. buna göre ax+by+cz=m...(1) şeklindeki denkleme diafont denklemi denir. a b veya c elemanlarından herhangi bir tanesinin sıfır olması durumuda zaten istenen 1. dereceden 2 bilinmeyenli bir diafont elde edilir. Teorem: Tamsayılar kümesinde (1) denkleminin bir çözümünün olabilmesi için ebob(a,b,c) nin m yi kalansız bölmesi yeter ve gerek şarttır. Kanıt: Varsayalım burda xo, yo, zo tamsayıları (1) olarak verilen denklemin bir çözümü olsunlar. o zaman demekki a. xo +b. yo +c. zo =m denklemi sağlanır. Ebob(a,b,c)= d olsun. Demekki a=dq1 , b=dq2 , c=dq3 (q1 q2 q2 elamanıdır tamsayılar kümesi) olur. a. xo +b. yo +c. zo =m denkelminde a b c sayıları yerine a=dq1 , b=dq2 , c=dq3 alınırsa durum d.(q1xo+q2yo+q3zo)=m olur. demekki d sayısı m nin bir çarpanıymış. O zaman m=d.q (q elemanıdır tamsayılar). Bu noktadan sonra Bezont teoreminden dolayı ;(bu arada teorimi bi hatırlayalım a1,a2,a3,....an sayıları verilsin (a1,a2,a3,....an)=u1a1+u2a2+...+unan olacak şekilde u1,u2,u3...un vardır. İspatı sayılar teorisi kitaplarında vardır.)  yani uzun lafın kısası A.a+B.b+C.c =d denklemini sağlayacak A B C tamsayıları bulunur. Son denklemin her iki tarafınıda q ile çarpalım; (q.A).a + (q.B).b +(q.C).c = q.d = m dir. demekki yo=q.b zo=q.C ve xo=q.A tamsayıları en yukarıda verilen  (1) denkleminin çözümleridir. hazır yeridir birde basit örnek vererk mevzuyu kapatalım: Örnek: 5x-7y = 8 denkelmini inceleyelim. (5,7)=1 ve 1|8 olduğundan tamsayı çözümleri vardır. 5x = 7y +8 ise x=(8+7y)/5=(5+3+5y+2y)/5 = (1+y)+(3+2y)/5 burada (3+2y)/5= z olsun 3+2y=5z olur. y = (5z-3)/2=(4z+z-2-1)/2=(2z-1)+(z-1)/2 buradada (z-1)/2=u olsun. z=2u+1 olur. eğer x ve y değişkenlerinide u cinsinden yazarsak  y = (5z-3)/2=[5.(1+2u)-3]/2=5u+1 x=(8+7y)/5=[8+7.(5u+1)]/5=7u+3 demekki genel çözüm (y,x)=(5u+1, 7u+3) olur. (elim ağrıdı)    
Fatih Kürsad CANSU
"Kendi Halinde Bir Yaşam Formu"
_________________________________________________________________
Connect to the next generation of MSN Messenger 
http://imagine-msn.com/messenger/launch80/default.aspx?locale=en-us&source=wlmailtagline
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070925/5f1dc215/attachment.htm