[MD-sorular] Sesten gitar sekli bulmak

13 Nis 2008 Paz 18:30:39 EEST

daha once de acikladigimiz gibi, o sizin verdiginiz linkteki sekiller "titrestigi" (yani kendisi titrestigi zaman) zaman, ayni frekanslarda titresen sekiller...sizin sordugunuz soru spectrumla degil akustikle ilgili... yani telleri sabit tutuyorsunuz, bu telleri degisik enstrumanlara takarak ayni sesi elde etmek istiyorsunuz. dolayisiyla burada onemli olan tellerin cikardigi sesin enstrumanin icine girip cikan, enstrumana carpip geri donen vb. seslerle nasil "girisim" olusturacagiyla ilgili. bu da akustikle ilgili. benim bahsettigim ve sizin linkte verdiginiz teori "tek bir tel" in veya genel olarak manifoldun hangi frekanslarda tiresebilecegini soyluyor.  ki bu da bir muzik aletinin cikardigi ses hakkinda birsey soylemeye cok uzak cunku kulagimiza gelen ses degisik frekanstaki bircok sesin ust uste binmis durumu (superposition i). bence akustik ve ses dalgalarinin girisimi konularina bakmaniz gerekiyor. netten "beat" diye aratabilirsiniz. mesela:
 http://en.wikipedia.org/wiki/Beat_%28acoustics%29

  baris

Mustafa Umut Sarac <mustafaumutsarac at gmail.com> wrote:
    Sayin Baris Evren Ugurcan ,

  Cabaniz icin cok tesekkur ederim.
  Simdi mesela elimde bir Stradivari var , Bu keman her ses siddeti , parlakligi ve notasi icin farkli bir frekans kutlesi olusturuyor.
  Yada baska bir opsiyon , Stradivari nin 4 teli , ciplak calindiginda 4 farkli spektrum veriyor.
  Eger tellerin spektrumunu bilirsek ,
  Bu 4 tel icin ve 4 farkli spektrum icin ayni sesi verecek 2 boyutlu - mesela cok ince - bir enstruman sekli bulmak mumkun mu ?
  http://mathworld.wolfram.com/IsospectralManifolds.html
  Bu linkini verdigim sitede sag ustte bazi sekiller var , eger Strad sesini cikaracak boyle alisilmamis bir sekilli enstruman yaparsak mukemmel olur.

  Tum degerli arkadaslarin yanitini bekliyorum.

  Tesekkurler ,

  Saygilarimla ,

  Mustafa Umut Sarac 

  On 4/13/08, barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com> wrote:   merhaba,

once tek boyutta calisalim: (bir f fonksiyonun a ya gore turevini fa olarak gosterelim, yani bu durumda faa a ya gore 2 defa turev oluyor.)

biliyoruz ki tek boyuttaki bir ipin titresim sekillerini veren denklem:

fxx=-kf (ikinci turevi kendisinin bir reel kati olan fonksiyonlar), denklemiyle bulunuyor, tabii belirli bir [c,d] araliginda, belirli sinir degerleriyle (boundary condition) .  

Bunun cozumleri de tam da "umdugumuz" gibi degisik frekanslardaki sinus ve kosinus fonksiyonlari. daha formal olarak acos(tx)+bsin(tx) fonksiyonlari. 

cozum olaraksa her k degerine karsilik gelen fonksiyonlar buluyoruz. 

su karmasik cumleyi de kurmak zorunda kaliyoruz: yukaridaki denklemde, denklemi saglayabilecek fonksiyon bulabildigimiz k degerlerine eigenvalue (ozdeger), belli bir k degeri icin denklemi saglayan fonksiyonlara da eigenfunction (oz-fonksiyon?) deniyor.

yani daha fazla beyin samarlamadan soyleyecek olursak denklemin cozumleri, [tn^2, asin(tn*x)+ bcos(tn*x)]  ikililerinden olusuyor  mesela  t1^2  yi  k yerine  asin(t1*x)+ bcos(t1*x) yi de f yerine yazarsak denklem saglaniyor...

peki noluyor? tn ler bir [c,d] araligi ile modelledigimiz ipin titresim yapabildigi frekenslar, asin(tn*x)+ bcos(tn*x) lerde ipin titresirken "belli bir  anda"  cekilmis fotograflari  oluyor... hangi anda cekildigini hic karistirmayalim simdi... zaten onemi de yok.

simdi gelelim sizin soruya: biz bir ipin (sonlu veya sonsuz uzunlukta) hangi frekanslarda titresebilecegini hangi denklemin cozumuyle bulduk?

fxx=-kf  denklemiyle... peki ayni seyi 2 boyutta da yapabilir miyiz? yani mesela bir zarin titresimlerini? tabii ki...o zaman da her titresimin sekli x ve y nin bir fonksiyonu olacagindan titresim sekilleri z(x,y) seklinde fonksiyonlar olur. bunu bulmak icinde:

fxx + fyy = -kf denlemini kullaniriz... yani bu denklemi 2 boyutta bir D kapali egrisinin ic bolgesinde cozeriz...aynen tek boyutta oldugu gibi titresim frekanlarini ve titresim sekillerini buluruz...

simdi (daha yeni) geldik sizin soruya, ya iyi de peki tersi olur mu? yani bize 2 boyutta bir bolgenin titresim frekansalarini verseler bolgenin seklini bulabilir miyiz? yani bir daire mi, elips mi veya hic akla hayale gelmeyen bir sekil oldugunu?  maalesef genel durum icin cevap olumsuzdur...

http://en.wikipedia.org/wiki/Hearing_the_shape_of_a_drum adresinde sayfanin sag basindaki iki sekil karsit ornektir... yani bu iki sekil farkli olmasina ragmen titresim frekanslari aynidir.

ama ayni sayfada soyledigine gore eger duzlemdeki bolgeler konvex (yani herhangi iki noktasini bir cizgiyle birlestirdigimizde cizgi de bolgenin icinde) ve analitik sinira sahipse yani "anladigim kadariyla" bolgeyi cevreleyen egrinin her noktada Taylor acilimi varsa (ayni sey degil ama arkeologlar bunu sonsuz turevli olarak dusunebilirler:)) soyledigimiz sey olabiliyor yani tiresim frekanslari gercekten de bolgenin seklini veriyor...

haa son olarak (en sonunda!!) gitarin seklini veya davulun seklini demissiniz ya, aslinda frekanslardan yola cikarak "titresen seyin" seklini buluyoruz yani davulun titresen zarinin veya gitarin telinin seklini...

bu konuyla ilgilenenlere simdi benim bir sorum olacak:  bildigimiz gibi n boyut icin:

fx1x1 + fx2x2 +fx3x3+.............+fxnxn ifadesine f in laplacian i denir. ve 2 ve 3 boyutta yukarida acikladigimiz gibi D bolgesi uzerinde:

Laplacian(f)= -kf eigenvalue differansiyel denkleminin cozumu (buna Helmholtz denklemi denir) D bolgesinin titresim frekanlarini verir.  Peki bunu neden boyle oldugunu bilen var mi acaba? yani tek boyuta uygulayip bulduk, bir de iki boyutta veriyor mu bakalim diye tesadifen mi bulunmus bu denklem? yoksa bu denklemin titresim frekanslarini vermesinin ozel bir "fiziksel" bir sebebi var midir? bunu 4 boyutta cozersek buldugumuz "frekanslarin" fizikte bir anlami var midir?

umarim yardimci olmustur, saygilarimla,

Baris Evren Ugurcan   

Mustafa Umut Sarac <mustafaumutsarac at gmail.com> wrote:
      Merhaba ,

  1994 te aklima bir soru takilmisti , sesinden yola cikarak bir gitarin seklini , yogunluk haritasini ve modal analizini bulmak mumkunmudur ?
  Buna benzer bir soru 1966 ta sesinden davul un seklini bulabilirmiyiz diye sorulmus amerikada .
  Satton diye bir matematikci riemann manifoldlari ve lie gruplari teorisinden yola cikarak bir profesorluk tezi hazirlamis,
  Ben liseden sonra matematik gormedim , bir arkeologum , konuyu nasil yapariz sorusuna bir yanit olarak yazarmisiniz ,
  eger yuzde yuz yapilabiliyorsa ?

  Saygilarimla ,

  Mustafa Umut Sarac

  Istanbul

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular

  __________________________________________________
Do You Yahoo!?
Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around 
http://mail.yahoo.com 

 __________________________________________________
Do You Yahoo!?
Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around 
http://mail.yahoo.com 
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080413/49b977c6/attachment.htm 