[MD-sorular] Bir soru daha

Ali Nesin nesin at bilgi.edu.tr
25 Nis 2008 Cum 17:52:42 EEST


 

Tesekkurler.

A.

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr
[mailto:md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr] On Behalf Of Gorkem Ozkaya
Sent: Friday, April 25, 2008 6:00 AM
To: Ali Nesin; md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] Bir soru daha

 

p bir rasyonel sayi, 
x 0'la 1 arasinda bir reel sayi ise

1 - px <= (1-x)^p olur.

 

Eger hata yapmadiysam, analiz kullanmadan su sekilde ispatlayabiliriz. 

 

(kucuk-esit, buyuk-esit notasyonu: <=, >= )

x >= 1/p ise, sag taraf ya negatif,
ya da 0 olacagindan esitlik apaciktir.
bu sayede genelligi yitirmeden 
x <= 1/p diyebiliriz. 

n ve m, p = (n+m)/n 'i 
saglayan iki dogal sayi olsun.

m uzerinden tumevarim yapalim.

m = 1 icin ifademiz 

1 - ((n+1)/n)*x <= (1-x)^((n+1)/n)

olur.

her iki tarafin n'inci kuvvetini alalim
ve biraz duzenleyelim. esitsizligimize
denk olan su ifadeyi elde ederiz:

1/(1-x) <= (1 + x/(n - nx - x))^n.

x <= 1/p varsayimi sayesinde 
sag taraf iki pozitif real sayinin
toplaminin n. kuvveti oluyor.  
binom aciliminin ilk iki terimini 
alirsak, elde edecegimiz

1/(1-x) <= (1 + nx/(n - nx - x))

ifadesini kanitlamamiz yeterli 
olacaktir. 

ama kolayca gorulebilir ki bu ifade,
her zaman dogru olan

0 <= x^2

ifadesine denktir.  

boylece m = 1 durumunu kanitladik.

simdi genel duruma gecelim:

n/(n+m)'den kucuk
bir x icin bize verilmis olsun. 
y reel sayisini ve k dogal sayisini,
y = x(n+1)/n ve k = n +1 seklinde
tanimlayalim.


tumevarimin varsayimimizdan 

1: (1 - y(k+ m - 1)/k) <= (1 - y)^((k+m-1)/k)

2: (1 - x(n+1)/n) <= (1-x)^((n+1)/n)

ifadelerini elde ederiz.

birinci ifadede  y ve k'yi yerlerine koyarsak 

1: (1 - x(m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1))

olur. 


simdi 2. ifadenin (n+m)/(n+1) inci kuvvetini alalim:

(1 - x (m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1)) <= (1 - x)^((n+m)/n)

yani istedigimiz gibi

1 - px <= (1 - x)^p 

olur. 

 

Gorkem

2008/4/12 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>:

Analiz kullanmadan su esitsizligi kanitlayabilir misiniz?

1'den buyuk bir kesirli p sayisi icin ve 0'la 1 arasindaki bir x gercel
sayisi icin,

1 - px * (1 - x)^p.

 

Turev alarak kanitlamak kolay, hatta sadece kesirli degil, her gercel p
sayisi icin dogru bu esitsizlik.

Ama ben tumevarim filan gibi sadece temel yontemleri kullanmak istiyorum.

 

Kanit basit olursa MD'ye alacagim, yoksa turev tanimlanana kadar
bekleyecegim.

 

Ali


_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular

 

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080425/2e6657ab/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi