[MD-sorular] Bir soru daha
Ali Nesin
nesin at bilgi.edu.tr
25 Nis 2008 Cum 17:52:42 EEST
Tesekkurler.
A.
_____
From: md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr
[mailto:md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr] On Behalf Of Gorkem Ozkaya
Sent: Friday, April 25, 2008 6:00 AM
To: Ali Nesin; md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] Bir soru daha
p bir rasyonel sayi,
x 0'la 1 arasinda bir reel sayi ise
1 - px <= (1-x)^p olur.
Eger hata yapmadiysam, analiz kullanmadan su sekilde ispatlayabiliriz.
(kucuk-esit, buyuk-esit notasyonu: <=, >= )
x >= 1/p ise, sag taraf ya negatif,
ya da 0 olacagindan esitlik apaciktir.
bu sayede genelligi yitirmeden
x <= 1/p diyebiliriz.
n ve m, p = (n+m)/n 'i
saglayan iki dogal sayi olsun.
m uzerinden tumevarim yapalim.
m = 1 icin ifademiz
1 - ((n+1)/n)*x <= (1-x)^((n+1)/n)
olur.
her iki tarafin n'inci kuvvetini alalim
ve biraz duzenleyelim. esitsizligimize
denk olan su ifadeyi elde ederiz:
1/(1-x) <= (1 + x/(n - nx - x))^n.
x <= 1/p varsayimi sayesinde
sag taraf iki pozitif real sayinin
toplaminin n. kuvveti oluyor.
binom aciliminin ilk iki terimini
alirsak, elde edecegimiz
1/(1-x) <= (1 + nx/(n - nx - x))
ifadesini kanitlamamiz yeterli
olacaktir.
ama kolayca gorulebilir ki bu ifade,
her zaman dogru olan
0 <= x^2
ifadesine denktir.
boylece m = 1 durumunu kanitladik.
simdi genel duruma gecelim:
n/(n+m)'den kucuk
bir x icin bize verilmis olsun.
y reel sayisini ve k dogal sayisini,
y = x(n+1)/n ve k = n +1 seklinde
tanimlayalim.
tumevarimin varsayimimizdan
1: (1 - y(k+ m - 1)/k) <= (1 - y)^((k+m-1)/k)
2: (1 - x(n+1)/n) <= (1-x)^((n+1)/n)
ifadelerini elde ederiz.
birinci ifadede y ve k'yi yerlerine koyarsak
1: (1 - x(m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1))
olur.
simdi 2. ifadenin (n+m)/(n+1) inci kuvvetini alalim:
(1 - x (m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1)) <= (1 - x)^((n+m)/n)
yani istedigimiz gibi
1 - px <= (1 - x)^p
olur.
Gorkem
2008/4/12 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>:
Analiz kullanmadan su esitsizligi kanitlayabilir misiniz?
1'den buyuk bir kesirli p sayisi icin ve 0'la 1 arasindaki bir x gercel
sayisi icin,
1 - px * (1 - x)^p.
Turev alarak kanitlamak kolay, hatta sadece kesirli degil, her gercel p
sayisi icin dogru bu esitsizlik.
Ama ben tumevarim filan gibi sadece temel yontemleri kullanmak istiyorum.
Kanit basit olursa MD'ye alacagim, yoksa turev tanimlanana kadar
bekleyecegim.
Ali
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080425/2e6657ab/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi