Re: [MD-sorular] en kısa sürede dolum: siseyi suya daldırma sekli?

[Kerem Altun]

Ucuncu asama icin bir hata yapmisim. 4 tane diferansiyel denklem olmali. y
icin, teta icin, y'nin turevi icin ve teta'nin turevi icin.

Kerem


2008/8/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

> Acizane yorumlarimi yazayim.
>
> 1. Oncelikle problemi matematiksel olarak modellemek gerekir. Oldugu gibi
> modellemek baya zor, o yuzden basite indirgemeye calisalim. Ornegin iki
> boyutta dusunelim. Bu durumda sisenin uzaydaki konumu 3 degisken ile
> belirlenir. Sisenin uzerindeki belli bir noktanin koordinatlari (x,y), ve
> egimi (teta). Yuzey gerilme kuvvetlerini yok sayarak, ve de icine
> daldirdigimiz kovanin capini cok buyuk farzederek, x'i dikkate
> almayabiliriz. Yani elimizde sadece derinlik ve egim var.
>
> 2. Simdi kovayi 2 boyutta bir basinc alani (pressure field) olarak
> dusunelim. Icine daldirdigimiz siseyle bu basinc alanini bozuyoruz, ve
> tekrar dengeye gelmesini istiyoruz. Bu dengeye gelme suresini en kucuk
> yapmak istiyoruz.
>
> 3. Sise suyun icinde hareket edeceginden, ve bu durumda sisenin kendi
> hareket dinamigini dikkate almazlik edemeyecegimizden, 2 tane birinci derece
> diferansiyel denklem mutlaka yazilmali. Bu denklemlerde siseye
> uygulayacagimiz kuvvetler de var. Bunlari F vektoru ile gosterelim. Bunlari
> yazabilmek icin biraz sistem dinamigi bilmek gerekir. Sise her zaman bu
> denklemleri saglayacak sekilde hareket etmeli.
>
> 4. Sisenin konumuna gore basinc alaninin nasil bozulacagi bellidir. Bunu
> bir gonderme (mapping, ya da fonksiyon) seklinde yazabiliriz. Yani, y ve
> teta'ya bagli bir fonksiyon olacak, ve her y ve teta degeri icin ayri bir
> basinc alani verecek bir fonksiyon olacak bu.
>
> 5. Sonra, basinc alaninin nasil bozuldugunu bildigimizi varsayarak, suyun
> dinamik denklemlerini yazmak gerekir. Yanlis hatirlamiyorsam bunlar ikinci
> derece nonlineer kismi diferansiyel denklemlerdir. Denklemlerde basinc
> alaninin hem uzay koordinatlarina hem de zamana gore turevleri yer alacak.
> Bunlari yazabilmek icin de saglam derecede "akiskanlar mekanigi" bilmek
> gerekir.
>
> 6. Tum bunlara gore, basinc alaninin zamana gore turevinin sifir oldugu
> noktanin (yani dengeye geldigi noktanin) en kucuk olmasini istiyoruz. Yani
> bunun icin uygulamamiz gereken F vektorunu ariyoruz. Bunu bulmak icin de
> gayet ciddi derecede dinamik optimizasyon teorisi ve "calculus of
> variations" bilmek gerekir.
>
> 7. Butun bunlari yaptiktan sonra, cok yuksek olasilikla bu denklemlerin
> analitik cozumu olmadigini gorecegiz. Yani bir bilgisayara basvurmak
> gerekecektir.
>
> Yani problem zor. Hem sistem dinamigi, hem akiskanlar mekanigi hem de
> dinamik optimizasyon konularinin doktora seviyesinden once saglam derecede
> ogrenilebilecegini pek sanmiyorum. Doktora seviyesi veya daha ustunde birisi
> de bu soruya hemen yanit veremez, uzerinde calisilmasi gereken bir konu. Ama
> umarim bir fikir verebilmisimdir.
>
> Kerem
>
>
>
> 2008/8/1 Ali ilik <aliilik at gmail.com>
>
>> Bildiğimiz, 0.5 YTL ile satılan içi boş bir su şişesini derinliği 1 metre,
>> çapı 0,3 metre olan su dolu bir kovaya daldıracağız.
>>
>> (Rakamları soru netleşsin diye verdim. Çok önemli değil. Bildiğimiz, bahçe
>> yıkamada kullanılan klasik kovaları kastediyorum.)
>>
>> Şişeyi nasıl daldıralım ki (ağzını nasıl sokalım) en kısa sürede şişe
>> tamamen suyla dolsun?
>>
>> Soru bu kadar.
>> ----------
>>
>> İlgilenenler için detaylar ve soruyla ilgili bir iki teknik not:
>>
>> 1- Bu soruyu sorarken şuradan esinledim. Bir kaç gün önce babamın
>> işyerinde (Radyatör tamirhanesi) matkapla derin bir delik açmamız
>> gerekiyordu fakat matkap yavaş döndüğünen ve delik derin olduğundan matkabın
>> ucu çok ısınıyordu ve babam kuvvetle patkabı bastırırken ben de su dolu bir
>> havuzdan pet şişeyle su alıp matkabın ucunu ısıtıyordum. Havuza direkt
>> daldırınca geç dolduğunu farkettim. Biraz eğimli daldırınca daha kısa sürede
>> doldu. (Direkt daldırınca 13 saniye, eğimli daldırınca 7 saniye) Ve bu işin
>> arkasındaki matematiği merak ettim. Aslında eskiden beri merak ettiğim bir
>> soruydu ama o anda daha çok merak ettim nedense.
>>
>> 2- Sişeyi daldırınca direkt olarak, kabarcıklar çıkıyor. Çünkü içeriye su
>> girmesi için içeriden hava çıkması lazım. Ve havanın çıkış hızı suyun giriş
>> hızıyla alakalıdır elbet. Kabacıklar çember şeklindeki şişe ağzından
>> çıktığından, etraftaki yaklaşık olarak eşit basınçtan dolayı kabarcıklar içi
>> boş küre şeklinde oluyor sanırım.
>>
>> Neyse gevelemeden ek soruları sorayım:
>>
>> 1- Şişenin ağzını eğimli bir şekilde yavaş yavaş suya daldıralım. Şişenin
>> ağzı  yavaş yavaş (0,3mm, 0,6mm, ...) aşağıya inerken tam ağzı kovanın içine
>> tamamen girer girmez bir kabarcık patlaması oluyor. Bu patlamada havada
>> oluşan su molekülerinin 3-D denklemi nedir?
>>
>> 2- En kısa süre için nasıl daldıralım derken şunu kastediyorum: hangi
>> hızla, hangi eğimle (Belki de eğim değişken bile olabilir.)
>>
>> Neyse, ek bir sürü soru sorulabilir. Uzatmıyayım.
>>
>> Son bir gözlem: şişenin ağzı aşağıya inerken suyun yüzeyi bükülüyor.
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080802/ece6b55a/attachment.htm