Re: [MD-sorular] en kısa sürede dolum: siseyi suya daldırma sekli?

[Ali ilik]

""Hic gerek yok, otur dersine calis" diyemeyiz elbette kimseye,"

Bazen onu demek iyi olabilir ama. Bir basketbol koçu gibi öğrencilerini
yetiştiren tecrübeli bir matematikçi (Babacan, iyi niyetli bir tavırla
belki; ya da sert bir tavırla) diyebilir bunu ilginç (önemsiz/yersiz/çok ama
çok zor) bulduğu bir soruyla uzun süre uğraşan (uğraşmaya yeltenen) bir
öğrencisine. Ve iyi de eder sanırım onun daha iyi işler yapması için.



03.08.2008 tarihinde Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> yazmış:
>
> Belki bir lise ogrencisinin anlayabilecegi bir seviyeye indirgenebilir. Bu
> durumda teta'yi sabit almak gerekir herhalde. Yani sisenin acisini
> degistirmemek gerek. Hatta belki optimal cozumde bile boyledir. Ayrica
> siseyi bir silindir gibi dusunmek gerekebilir.
>
> Yalniz butun bunlari yapsak da akiskan dinamigi denklemleri bir lise
> ogrencisinin anlayabilecegi bicimde nasil modellenir bilemiyorum. Bildiginiz
> gibi akiskanlarin dinamigi lise mufredatinda anlatilmiyor. Ama mumkun
> olabilir, sanirim benim sahip oldugumdan daha fazla deneyim gerek.
>
> "Hic gerek yok, otur dersine calis" diyemeyiz elbette kimseye, ama bir
> matematikci acisindan bu sorunun cozumunun "ilginc" karsilanabilecegini
> sanmiyorum. Muhendislik acisindan da. Bir uygulamali matematikci acisindan
> olabilir belki.
>
> Umarim birisi soylediginiz sekilde bir yazi yazabilir ve bu da MD'de
> yayinlanir. Boylece ben de ogrenmis olurum :)
>
> Kerem
>
>
>
> 2008/8/3 Ali ilik <aliilik at gmail.com>
>
>> Çok iyi oldu sağolun.
>>
>> Bu arada Tibet Efendi'yle sorun yok. Hallettik aramızda. Umarım agresif
>> davranmamışımdır tepkimde. Öyleyse yine bir özür diliyorum listeden ve
>> (dolayısıyla ve/veya ayrıca) Tibet Efendî'den.
>>
>> Peki o zaman şöyle bir sorum var Kerem Altun:
>>
>> Bu soruyu başka yerlere sorsak ve bir lise öğrencisinin anlayabileceği bir
>> yazı haline getirilse ve MD'ye gönderilse... Belki güzel bir yazı olur ve
>> editör kabul eder. Soruyu sorarken ne kadar zor olabileceğini tahmin
>> etmiştim.
>>
>> Bazı doktora üstü soru ve konular lise düzeyine indirgenebiliyor iyi yazan
>> ellerle.
>>
>> Çevresinde öyle tanıdığı olan birileri vardır belki.
>>
>> Ya da delilik yapıp bu soruyu çözmek için kütüphanelerdeki tozlu ve kötü
>> yazılan mühendislik matematiği/dif denklemler kitaplarıyla kafayı mı yemeli
>> bir kaç ay/sene?
>>
>> Hiç gerek yok, "Otur dersine çalış!" mı?
>>
>> Bir insan bir soruyla ne kadar uğraşmalı? Sorusuna göre değişir.
>>
>> Ama nasıl bileceğiz ki bunu? Tecrübeyle.
>>
>> Tecrübe kazanıp kazanmadığımızı nasıl anlayacağız?
>>
>> Neyse matematiksel sorular değil bunlar, pardon.
>>
>>
>> 02.08.2008 tarihinde Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> yazmış:
>>
>>> Acizane yorumlarimi yazayim.
>>>
>>> 1. Oncelikle problemi matematiksel olarak modellemek gerekir. Oldugu gibi
>>> modellemek baya zor, o yuzden basite indirgemeye calisalim. Ornegin iki
>>> boyutta dusunelim. Bu durumda sisenin uzaydaki konumu 3 degisken ile
>>> belirlenir. Sisenin uzerindeki belli bir noktanin koordinatlari (x,y), ve
>>> egimi (teta). Yuzey gerilme kuvvetlerini yok sayarak, ve de icine
>>> daldirdigimiz kovanin capini cok buyuk farzederek, x'i dikkate
>>> almayabiliriz. Yani elimizde sadece derinlik ve egim var.
>>>
>>> 2. Simdi kovayi 2 boyutta bir basinc alani (pressure field) olarak
>>> dusunelim. Icine daldirdigimiz siseyle bu basinc alanini bozuyoruz, ve
>>> tekrar dengeye gelmesini istiyoruz. Bu dengeye gelme suresini en kucuk
>>> yapmak istiyoruz.
>>>
>>> 3. Sise suyun icinde hareket edeceginden, ve bu durumda sisenin kendi
>>> hareket dinamigini dikkate almazlik edemeyecegimizden, 2 tane birinci derece
>>> diferansiyel denklem mutlaka yazilmali. Bu denklemlerde siseye
>>> uygulayacagimiz kuvvetler de var. Bunlari F vektoru ile gosterelim. Bunlari
>>> yazabilmek icin biraz sistem dinamigi bilmek gerekir. Sise her zaman bu
>>> denklemleri saglayacak sekilde hareket etmeli.
>>>
>>> 4. Sisenin konumuna gore basinc alaninin nasil bozulacagi bellidir. Bunu
>>> bir gonderme (mapping, ya da fonksiyon) seklinde yazabiliriz. Yani, y ve
>>> teta'ya bagli bir fonksiyon olacak, ve her y ve teta degeri icin ayri bir
>>> basinc alani verecek bir fonksiyon olacak bu.
>>>
>>> 5. Sonra, basinc alaninin nasil bozuldugunu bildigimizi varsayarak, suyun
>>> dinamik denklemlerini yazmak gerekir. Yanlis hatirlamiyorsam bunlar ikinci
>>> derece nonlineer kismi diferansiyel denklemlerdir. Denklemlerde basinc
>>> alaninin hem uzay koordinatlarina hem de zamana gore turevleri yer alacak.
>>> Bunlari yazabilmek icin de saglam derecede "akiskanlar mekanigi" bilmek
>>> gerekir.
>>>
>>> 6. Tum bunlara gore, basinc alaninin zamana gore turevinin sifir oldugu
>>> noktanin (yani dengeye geldigi noktanin) en kucuk olmasini istiyoruz. Yani
>>> bunun icin uygulamamiz gereken F vektorunu ariyoruz. Bunu bulmak icin de
>>> gayet ciddi derecede dinamik optimizasyon teorisi ve "calculus of
>>> variations" bilmek gerekir.
>>>
>>> 7. Butun bunlari yaptiktan sonra, cok yuksek olasilikla bu denklemlerin
>>> analitik cozumu olmadigini gorecegiz. Yani bir bilgisayara basvurmak
>>> gerekecektir.
>>>
>>> Yani problem zor. Hem sistem dinamigi, hem akiskanlar mekanigi hem de
>>> dinamik optimizasyon konularinin doktora seviyesinden once saglam derecede
>>> ogrenilebilecegini pek sanmiyorum. Doktora seviyesi veya daha ustunde birisi
>>> de bu soruya hemen yanit veremez, uzerinde calisilmasi gereken bir konu. Ama
>>> umarim bir fikir verebilmisimdir.
>>>
>>> Kerem
>>>
>>>
>>>
>>> 2008/8/1 Ali ilik <aliilik at gmail.com>
>>>
>>>>  Bildiğimiz, 0.5 YTL ile satılan içi boş bir su şişesini derinliği 1
>>>> metre, çapı 0,3 metre olan su dolu bir kovaya daldıracağız.
>>>>
>>>> (Rakamları soru netleşsin diye verdim. Çok önemli değil. Bildiğimiz,
>>>> bahçe yıkamada kullanılan klasik kovaları kastediyorum.)
>>>>
>>>> Şişeyi nasıl daldıralım ki (ağzını nasıl sokalım) en kısa sürede şişe
>>>> tamamen suyla dolsun?
>>>>
>>>> Soru bu kadar.
>>>> ----------
>>>>
>>>> İlgilenenler için detaylar ve soruyla ilgili bir iki teknik not:
>>>>
>>>> 1- Bu soruyu sorarken şuradan esinledim. Bir kaç gün önce babamın
>>>> işyerinde (Radyatör tamirhanesi) matkapla derin bir delik açmamız
>>>> gerekiyordu fakat matkap yavaş döndüğünen ve delik derin olduğundan matkabın
>>>> ucu çok ısınıyordu ve babam kuvvetle patkabı bastırırken ben de su dolu bir
>>>> havuzdan pet şişeyle su alıp matkabın ucunu ısıtıyordum. Havuza direkt
>>>> daldırınca geç dolduğunu farkettim. Biraz eğimli daldırınca daha kısa sürede
>>>> doldu. (Direkt daldırınca 13 saniye, eğimli daldırınca 7 saniye) Ve bu işin
>>>> arkasındaki matematiği merak ettim. Aslında eskiden beri merak ettiğim bir
>>>> soruydu ama o anda daha çok merak ettim nedense.
>>>>
>>>> 2- Sişeyi daldırınca direkt olarak, kabarcıklar çıkıyor. Çünkü içeriye
>>>> su girmesi için içeriden hava çıkması lazım. Ve havanın çıkış hızı suyun
>>>> giriş hızıyla alakalıdır elbet. Kabacıklar çember şeklindeki şişe ağzından
>>>> çıktığından, etraftaki yaklaşık olarak eşit basınçtan dolayı kabarcıklar içi
>>>> boş küre şeklinde oluyor sanırım.
>>>>
>>>> Neyse gevelemeden ek soruları sorayım:
>>>>
>>>> 1- Şişenin ağzını eğimli bir şekilde yavaş yavaş suya daldıralım.
>>>> Şişenin ağzı  yavaş yavaş (0,3mm, 0,6mm, ...) aşağıya inerken tam ağzı
>>>> kovanın içine tamamen girer girmez bir kabarcık patlaması oluyor.
>>>> Bu patlamada havada oluşan su molekülerinin 3-D denklemi nedir?
>>>>
>>>> 2- En kısa süre için nasıl daldıralım derken şunu kastediyorum: hangi
>>>> hızla, hangi eğimle (Belki de eğim değişken bile olabilir.)
>>>>
>>>> Neyse, ek bir sürü soru sorulabilir. Uzatmıyayım.
>>>>
>>>> Son bir gözlem: şişenin ağzı aşağıya inerken suyun yüzeyi bükülüyor.
>>>>
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>>
>>>
>>>
>>
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080803/e0433e4b/attachment.htm