[MD-sorular] Neden 1, 0'a esit degildir?

[Ali Nesin]

Nedenlerden biri: Cisimlerde 1 olmazsa, ornegin, her vektor uzayinin tabani
olmaz.

1'li halkalarda da cisimlerde oldugu gibi 1'in 0'a esit olmadigi kabul
edilir genellikle.

Ama nedense idealin oz ideal olmasi gerektigi soylenmez.

Morfizmler de 1'i 1'e goturmek zorundadir.

Althalkada da halkanin 1'i olmali (baska bir 1 olmaz, illa ki halkanin 1'i).
Ornegin R x {0}, R x R'nin althalkasi degildir.

Ali

-----Original Message-----
From: md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr
[mailto:md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr] On Behalf Of tibet efendi
Sent: Friday, August 15, 2008 4:22 AM
To: Matematik Dunyasi
Subject: [MD-sorular] Neden 1, 0'a esit degildir?


Merhaba,

Cisim aksiyomlarinda "1, 0'a esit degildir" diye bir aksiyom var. Kisaca
yaziyorum aksiyomlari neden bahsettigim daha iyi anlasilsin diye:

K bir küme, toplama ve carpma KxK'dan K'ya iki islem olsun.
(1) K toplama islemiyle birlikte degismeli bir gruptur.
(2) Carpmanin parantezsiz yazilma ve degisme özelligi var.
    Ayrica carpmanin SIFIRDAN FARKLI 1 adinda bir etkisiz elemani var. 0
haric her elemanin carpmaya göre tersi var.
(3) Carpmanin toplama üzerinde dagilma özelligi var.
Bu (K,+,*) üclüsüne cisim denir.

(burada (2) numarayi su sekilde degistirebiliyoruz:
K\{0} kümesi carpma islemiyle beraber degismeli bir grup. O zaman ayrica "1,
0'a esit degildir" demeye gerek kalmiyor)

Sorum su: Bu "0, 1'e esit degildir" olayini neden koymuslar.
1=0 durumda herhangi bir v elemani icin su oluyor: v=1v=0v=0. (0v=0 cünkü
0v=(0+0)v=0v+0v oluyor. 0v'lere birbirini götürttürebiliyoruz grup olmasi
sayesinde. geriye kaliyor 0=0v)

Dolayisiyla 1=0 olunca tek sorun cismin sadece 0'dan ibaret olma ihtimalinin
dogmasi. Yani "1=0 olmasin!" diyerek sadece "cisim tek elemandan olusamaz,
illa en az iki elemani olacak" demis oluyorlar. (atalarimiz)

Bir cisim sadece sifir elemanindan olussa ne sorun cikar? Neden bu durumu
yok etmek istemisler? Bu konuda fikri olan var mi?

Tek elemanli grup oluyor da tek elemanli cisim neden olmasin? Cismin basi
kel mi?

Ayni durum 1 elemani olan halkalar icin de sözkonusu mu? 1'li halkanin
taniminda "1, 0'a esit degildir" diye bir sart var mi?

Tenks,

Tibet