[MD-sorular] z^2=6x^2-y^2 cozumsuzdur, kanitlayiniz ve Ilik teoremi

[Fatih Kursad CANSU]

Ali amma hikaye yazmışsın be arkadaşım.. Aç Titu Andrescu nun
Diophantine equations kitabını, bul Fermat infinite descent konusunu
ol merakına mazhar.. Yazmak artık her aklına geleni...

On 12/7/08, Ali Ilik <ali.ilik at ugent.be> wrote:
>
>
>    1- Kanitlayiniz ki bir (4t-1, 2t-1, t-1)-Hadamard dizayni varsa A_2
> (4t-1, 2t-1)<=8t.
>
>    Esitlik olmasi gerektigini dusunuyorum. Neden buyuk isareti var
> anlamis degilim.
>
>    (7, 16, 3)-kodunun varligi soyle gosterilebilir. 2. dereceden
> projektif duzlemin incidence matrisini ve bu matrisin altina tum
> 1'leri 0'larla ve 0'lari 1'lerle degistirerek elde edilen matrisi ve 0
> ve 1'i ekleyelim. Sonuc bir (7, 16, 3)-kodudur. Ustelik bu kod bir
> mukemmel koddur cunku /sphere-packing bound/u saglar:
> 16(C(7,0)+C(7,1))=2^7.
>
>    E peki,  (4t-1, 2t-1, t-1)-Hadamard dizayni da bir simetrik
> dizayndir. Yukaridaki ornekteki gibi yaparim kodu. Yine perfect olmaz
> mi?? Hatami goremiyorum. Siyirmak uzereydim, sorudan zor aldim
> kendimi. Aslina, galiba t-1 isi bozuyor. Cunku mesela 10. dereceden
> projektif duzlemin -yoklugu kanitlanmis yakin zamanda bilgisayarla-
> lambdasi 1. (11, 11,1) yani. Yani ikililer tam olarak bir blokta
> beraber bulunur. (Asagida, baska soruda lamdayi h ile gosterecegim.)
> Ama Hadamard'da oyle olmayabilir. Mesela t=3 aliriz. Ama bunu da
> kontrol ettim. Minumum uzakliklarda sorun yok gibi gozukuyor:
>
>    A: Incidence matris, B: interchange matris olsun. d(x, y)=
> w(x)+w(y)-w(x kesisim y) agirlik formulunden,
>
>    d(a_i, a_j)=2t-1+2t-1-2.(t-1)=2t>t-1. (i farkli j elbet.)
>
>    d(b_i; b_j)=2t>t-1 cunku 0 ve 1'leri degistirmekle uzakliklar degismez.
>
>    d(0, y)=2t-1 veya 2t veya 4t-1; y'nin a_i, b_j ya da 1 olmasina gore.
>
>    d(1, y)=2t-1 veya 2t veya 4t-1; y'nin b_i, a_i, ya da 0 olmasina gore,
>
>    d(a_i, b_j)=4t-1-d(a_i, a_j)=4t-1- 2t=2t-1>t-1
>
>    Bir yerde hata yapiyorum herhalde. Daha fazla kod eklersem bozulmaz
> demek ki teoremse bu. Onu deneyeyim o zaman.
>
>    2- "Up to equivalence bir tek (8, 4, 5)-kodu vardir ve A_2 (8,
> 5)=4'tur." bunun kaniti anlasilir. Cok basit. Kanitta kullanilan ana
> fikir su: (8, M, 5) kodu varsa M<= 4 olacak sekilde (Up to equivalence
> 0 E C alabiliriz...), agirligi 6'dan buyukesit en fazla bir kod
> olabilir -cunku minumum uzaklikta celisir aksi durum. Bu kelimeleri
> adam 11111000 ve 11000111 almis. Diyor ki en son kelimenin
> 00111111 hemen oldugu hemen gozukur. Evet, saniyede gozukuyor, dogru.
> Ama 1111100 ve 00011111 aldim, patladi. Yalan oldu, balon oldu,
> patates oldu. Nereden bilecegiz guzel bir sekilde secmesini o
> kelimeleri? "Tecrubeyle, cok soru cozdukce" yanitindan farkli yaniti
> olan var mi?
>
>    Sukru Bey, Goldbach'i kanitlayamadim ve kanitlayamayacagim da ama
> bakiniz bu ve benzer bir ornekten -(5,4,3) exists and unique up to
> eq.- genellestirme yapmak istedim ve basardim. Buna da Ilik teoremi
> diyelim mi? Ama cok basit. Lise 1 duzeyinde anlatirim bunlari.
> Demeyelim demeyelim, ayip olur... Haydi bir kereligine diyeyim de egom
> tatmin olsun(!)
>
>    ILIK TEOREMI. /Let C be a binary (n, M, d)-code. Then, C contains
> at most one codeword x with w(x)>= A, where,/
>
>    /A= (n-d/2)+1 if d is even; /
>
>    /A=n-(d-1)/2 if d is odd./
>
>    3-/ z^2=6x^2-y^2/ denkleminin x, y ve z tamsayilarinda hepsi birden
> sifir olmayan bir cozumunun olmadigini nasil kanitlariz? Hangi sinifa
> girer bu denklem?
>
>    Eger bunu kanitlarsak sunu kanitliyoruz: (43, 43, 7, 7, 1)-dizayni
> yoktur! Alakaya bak cay demle! Alaka asagida:
>
>    /Bir (v, k, h)-dizayni mevcutsa ,/
>
>    /(i) v ciftce, k-h bir tamkaredir./
>
>    /(ii) v tekse, z^2=(k-h).x^2+(-1)^[(v-1)/2].h.y^2/
>
>    BKZ: BRUCK, RYSER, CHOWLA, 1950.
>
>    /Not: (43,7,1)- her (b, v, r, k, h)-dizayni icin gecerli olan/
>
>    /bk=vr ve r(k-1)=l(v-1) esitliklerini -iki turlu saymaya dayanan
> basit kanitli- sagliyor! Ama yok iste. Oyle bir dizayn yokmus./
>
>    Su soru acik/ (Kitabin 1986 baskisi itibariyle./ Aa simdi baktim
> kutuphanede 2001 baskisi varmis, belki cozulmustur. Ne keyifli olur
> cozumunu okumak.../):/
>
>    /bk=vr ve r(k-l)=l(v-1) saglansin. Yetmedi asagidakiler de saglansin./
>
>    /(i) v ciftce, k-h bir tamkaredir./
>
>    /(ii) v tekse, z^2=(k-h).x^2+(-1)^[(v-1)/2].h.y^2/
>
>    /(b, v, r, k, h)-dizayni varmidir?/
>
>    Vay anam vay... Ah be Serttop beyefendicigim... Goldbach he?
> Vallahi bunlar daha zevkli cunku az bucuk bir seyler anliyorsunuz...
>
>    Ali
>


-- 
Fatih Kürsad CANSU
Kendi Halinde Bir Yaşam Formu
"His boyhood lasted one sixth of his life; his beard grew after
one twelfth more; he married after one seventh more; his
son was born five years later; the son lived to half his father's
age, and the father died four years after his son. How old was
Diophantus when he died?"