[MD-sorular] en yakin uzaklik

31 Ara 2008 Çar 02:29:42 EET

Uniform convergence'i ben anlatayim, cünkü ben cok seviyorum uniform convergence'i

Bir f_n fonksiyon dizimiz olsun. Bunun bir f fonksiyonuna yakinsamasi ne demek?

Fonksiyonun tanimli oldugu her x noktasinda f_n(x) dizisinin f(x) dizisine yakinsamasi demek.

Buna pointwise convergence deniyor.

Misal f_n fonksiyonu n dogal sayisini 1'e diger bütün sayilari 0'a gönderen bir fonksiyon olsun.

Simdi bu f_n dizisi sifir fonksiyonuna yakinsiyor. Bildigimiz pointwise yakinsiyor.

Ama uniform yakinsamiyor. 

Uniform convergence, pointwise convergence'ten daha güclü bir yakinsama sekli.

Bana ne kadar kücük bir epsilon sayisi verirseniz verin, ben öyle bir
index bulurum ki f_n'in o buldugum indexten sonraki bütün elemanlari f
fonksiyonunun cevresine cizeceginiz epsilon borusunun icindekalir demek. 

"Epsilon borusu" da su:
f+epsilon fonksiyonuyla f-epsilon fonksiyonlarini f'in üstüne ve altina
cizince, f'in etrafina bir boru cizmis gibi oluyorsunuz. Ona epsilon
borusu diyorlar. (Almanlar epsilon hortumu diyor. Bence ikisi de kötü
ya diyecek baska bir sey bulamadim.)

Matematikce uniform convergence:
Her pozitif epsilon icin öyle bir N indexi vardir ki N'den büyük her n
icin f_n fonksiyonunun f fonksiyonundan en cok uzaklastigi yer bile
epsilondan kücüktür.

Matematikce pointwise convergence:
Tanim kümesindeki her x icin ve her pozitif epsilon icin öyle bir N
indexi vardir ki N'den büyük her n icin f_n(x)'in f(x)'ten uzakligi
epsilondan kücüktür.

Yukarida verdigim örnek sifir fonksiyonuna pointwise yakinsiyor ama uniform yakinsamiyor.

Cünkü o anlattigim fonksiyonu sifir fonksiyonunun etrafina cizecegin
1/2 capli boruya sikistiramazsin. Hangi indexi söylersen söyle dizide o
indexten sonra borudan disariya kacacak fonksiyonlar olacaktir. (hatta
orada sonsuz tane var, o örnek biraz karikatür bir örnek)

Uniform convergence'in önemi nedir? Onun sayesinde fonksiyon dizilerinin bazi özellikleri limitlerine de aktarilabiliyor.

Yani elinde sürekli fonksionlardan
olusan bir fonksiyon dizisi var diyelim. Bu dizinin limiti sürekli
midir degil midir? Pointwise limitse bir sey diyemezsin. Ama uniform
limitse sürekli olmak zorunda. 

Yani güzel bir sey uniform convergence.

Lokal degil de yaygin olarak yakinsiyor. Basi bir yerdeyken kici bir
yere kacmiyor yakinsayan dizinin. Bütün x'lerde hep beraber, anca
beraber kanca beraber yakinsiyor. Dizideki fonksiyonlar birbirlerine
kazik atmiyorlar. 

Bir adim daha mi yaklasiyoruz arkadaslar, o zaman hep beraber
yaklasiyoruz diyorlar ve yamuk yapan cikmiyor (en azindan belli bir
indexten sonra cikmiyor, yani yamuk varsa da sonlu sayida) 

Böyle bir zihniyet icerisindeler. Dayanisma hakim.

Öyle güzel bir sey uniform convergence.

--- On Tue, 12/30/08, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:
From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>, "'barýþ uðurcan'" <barisevren19 at yahoo.com>, "'md md'" <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Tuesday, December 30, 2008, 4:28 PM

“Uniform convergence ne demektir bilmiyorum.” MD-2008-IV’u
bekleyin. Ya da beklemeyin... 

A.

From:
md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun

Sent: Wednesday, December 31, 2008
1:16 AM

To: barýþ uðurcan; md md

Subject: Re: [MD-sorular] en yakin
uzaklik 

Yani aslinda belki de
sizin yazdiginiz bunun bir kanitidir, tam anlamadim. Uniform convergence ne
demektir bilmiyorum.

Kerem

On Wed, Dec 31, 2008 at 1:05 AM, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote: 

Hayir aslinda oyle bir
teoremden bahsetmedim. Bana periyodik olur gibi gelmisti, yani s eksi sonsuz
ile sonsuz arasinda deger alirken. Peki o zaman oncelikle sunu sorayim. Bir
egrinin parametrik yazilimi unique degildir sonucta. Kapali her egrinin, s eski
sonsuz ile sonsuz arasinda deger almak uzere, x(s) ve y(s) periyodik olacak
sekilde bir parametrizasyonu var midir? Bana vardir gibi geliyor, ama
kanitlayamam.

Kerem

2008/12/30 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com> 

kapali egri oldugu zaman x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodik olmak
zorunda degil mesela orijinden (0,0) cikip orijine donen bir egri:

s eleman [-1,+1],  (x(s),y(s))=(s^2-1, s^3-s + 2s^2 - 2)

ama sanirim sizin soylemek istediginiz Fourier analiz deki su teorem:

Thm: f surekliyse, turevinin sadece sonlu sayida sureksiz noktasi varsa ve
f(-pi) = f (pi) ise o zaman f in fourier acilimi f e [-pi, pi] araliginda
duzenli (uniform) bicimde yaklasir. [Fourier series and Integral Transforms,
Pinkus & Zafrany, 57]

tabii ki burada x(s) ve y(s) egri kapali oldugundan bu ozellikleri sagliyor.
son olarak teorem [-pi,pi] icin olsa da herhangi araliga tasiyabiliriz. 

sordugunuz soruya gelince biliyosunuz seri acilimini exp(-inx) lerle de
yapabilirirz burada n yi istedigimiz tam sayi seceriz. simdi complex duzlemde
(25, 28) noktasini alalim ve su fonksiyonlari dusunelim f_n=exp(-inx).
Biliyoruz ki bu fonksiyonlarin fourier katsayilari exp(-inx) icin 1 gerisi icin
0... ama hepsi de birim cemberi veriyor. yani kisacasi (25,28) yada herhangi
bir noktanin uzakligi fourier katsayilarina birebir bagli olmak zorunda
degil...noktanin birim cembere uzakligi hep ayni (degisik fourier katsayili tum
f_n ler icin).

baris 

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

To: md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>

Sent: Tuesday, December 30, 2008
4:54:26 PM

Subject: [MD-sorular] en yakin
uzaklik 

Duzlemde bir (x(s),y(s)) kapali egrimiz olsun. Duzlemde bir de (x_0,y_0)
noktasi verilmis olsun.

Egri kapali oldugundan, x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodiktir, periyotlari da
aynidir. Yani Fourier serisi olarak yazabiliriz bunlari. Noktanin egriye en
kisa uzakligini bu Fourier katsayilari cinsinden bulmak istiyorum. Boyle bir
bilgiye nereden ulasilabilir? En azindan matematigin hangi alt dali bakar bu
ise? Tesekkurler.

Kerem 

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081230/39c49f7c/attachment.htm 