[MD-sorular] en yakin uzaklik

31 Ara 2008 Çar 03:17:47 EET

Tamam ben de düzgün kanitini yazayim da bu kadar matematikciye rezil olmayayim:

Kanit direkt tanimdan cikiyor:

Tanim: R^2'de kapali bir egri, R'de bir [a,b] araligindan f(a)=f(b) olacak sekilde R^2 ye tanimlanmis sürekli bir f fonksiyonun görüntü kümesidir. (wikipedia)

Simdi [a,b] araligini arka arkaya tekrar edersen eksi sonsudan arti sonsuza uzanan nur topu gibi periyodik bir fonksiyonun oluyor. Hem de her yerde sürekli.

Yani tanim öyle bir acikmis ki kanita gerek kalmiyor.

Tibet

--- On Tue, 12/30/08, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:
From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
To: tibetefendi at yahoo.com
Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Tuesday, December 30, 2008, 4:46 PM

Tam muhendis kaniti olmus bu :) Ben bu kadar matematikciye rezil olmayayim diye yazmamistim. Tamam, bu durumda kapali egrimizi (x(s),y(s)) ile beliryeyelim. Hatta s "arc length parameter" olsun, turkcesini bilmiyorum kusura bakmayin. Egrinin uzunlugu L ise, bu fonksiyonlarin periyodu da L olmali. Bu sekilde parametrize ettigimizi dusunelim. Simdi bu x(s) ve y(s) fonksiyonlarini discrete bir kume ile belirleyebiliriz (yani Fourier katsayilari ile). Bu durumda verilen bir (x_0,y_0) noktasinin egriye uzakligini bu katsayilar cinsinden nasil buluruz?

Kerem

2008/12/31 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>

s'yi zaman gibi düsünün. Kalemle o kapali egriyi elinizi kaldirmadan cizdiginizi düsünün. 
Her "an" icin kalemle üzerinde durdugunuz bir nokta var.

Simdi örnegin bu egiriyi toplam bir dakikada dönüp dolasip tekrar basladiginiz yere cizerek geldiginizi düsünün. Bu cizme islemini arka arkaya sabit hizla tekrarladiginizda s'ye bagli periyodik fonksiyon oluyor.

Baska türlü bir düsünme sekli de su olabilir: Bunu ben simdi icad ettim. 

Bir egrinin parametrik yazimi biricik degildir demissiniz. Bu cümlenizden nasil bir seyden bahsettiginiz anlasiliyor.

Yani R den R^2 ye bir fonksiyon söz konusu. Ve siz egri derken o fonksiyonun görüntü kümesinden bahsediyorsunuz.

"Bir egrinin parametrik yazimi biricik degildir" derken de dediginiz sey aslinda "bir fonksiyonun görüntü kümesini bilirsek o fonksiyonun ne oldugunu tam tespit edemeyiz" demekle ayni sey.

Simdi R^2'deki görüntü kümesini (yani kapali egriyi) bildigimizi varsayalim. Bu, örnegin bir cember olsun.
R^2'yi masa olarak düsünelim. masanin üzerinde duran bir cemberimiz var.
Simdi masadan yukariya dogru ücüncü bir eksen cizelim. Bu eksen s ekseni.

Görüntü kümesi o cember olan periyodik fonksiyon(lardan biri) bir yay gibi görünecektir. (yay gibi görünmeyen, hatta hic bir seye benzemeyen periyodik fonksiyonlar da cizilebilir) Ama yay gibi olani daha yakisikli.

Yay derken döne döne sarmal gibi yükselen bir yayi kastediyorum. Yatak yayi gibi.

Sadece cemberle degil herhangi bir kapali egriyle de bunu yapabilecegimiz görsel olarak cok acik.

Bu dedigim aslinda yukaridaki kalemle cizme örneginin aynisi.

Yine kalemle bir kagit üzerine kapali egriyi elimizi
 kaldirmadan ayni hizla ciziyoruz. Biz cizerken bir arkadasimiz da bir yandan üzerine cizdigimiz kagidi sabit hizla yukari kaldiriyor. Havaya bir sekil cizmis olduk. Iste yay diye bahsettigim sey o.

O havaya cizdigimiz sey periyodik fonksiyonun grafigidir. (biricik degil bu tabi)

(Hic bir sey kanitlamis olmadim, öyle bir fonksiyonun bulunabilecegine dair görsel düsüncelerimi anlattim)

Tibet

--- On Tue, 12/30/08, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
To: "barýþ uðurcan" <barisevren19 at yahoo.com>, "md md" <MD-sorular at matematikdunyasi.org>

Date: Tuesday, December 30, 2008, 4:05 PM

Hayir aslinda oyle bir teoremden bahsetmedim. Bana periyodik olur gibi gelmisti,
 yani s eksi sonsuz ile sonsuz arasinda deger alirken. Peki o zaman oncelikle sunu sorayim. Bir egrinin parametrik yazilimi unique degildir sonucta. Kapali her egrinin, s eski sonsuz ile sonsuz arasinda deger almak uzere, x(s) ve y(s) periyodik olacak sekilde bir parametrizasyonu var midir? Bana vardir gibi geliyor, ama kanitlayamam.

Kerem

2008/12/30 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>

kapali egri oldugu zaman x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodik olmak zorunda degil mesela orijinden (0,0) cikip orijine donen bir egri:

s eleman [-1,+1],  (x(s),y(s))=(s^2-1, s^3-s + 2s^2 - 2)

ama sanirim sizin soylemek istediginiz Fourier analiz deki su teorem:

Thm: f surekliyse, turevinin sadece sonlu sayida sureksiz noktasi varsa ve f(-pi) = f (pi) ise o zaman f in fourier acilimi f e [-pi, pi] araliginda duzenli (uniform) bicimde yaklasir. [Fourier series and Integral Transforms, Pinkus & Zafrany, 57]

tabii ki burada x(s) ve y(s) egri kapali oldugundan bu ozellikleri sagliyor. son olarak teorem [-pi,pi] icin olsa da herhangi araliga tasiyabiliriz. 

sordugunuz soruya gelince biliyosunuz seri acilimini exp(-inx) lerle de yapabilirirz burada n yi
 istedigimiz tam sayi seceriz. simdi complex duzlemde (25, 28) noktasini alalim ve su fonksiyonlari dusunelim f_n=exp(-inx). Biliyoruz ki bu fonksiyonlarin fourier katsayilari exp(-inx) icin 1 gerisi icin 0... ama hepsi de birim cemberi veriyor. yani kisacasi (25,28) yada herhangi bir noktanin uzakligi fourier katsayilarina birebir bagli olmak zorunda degil...noktanin birim cembere uzakligi hep ayni (degisik fourier katsayili tum f_n ler icin).

baris

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>

Sent: Tuesday, December 30, 2008 4:54:26
 PM
Subject: [MD-sorular] en yakin uzaklik

Duzlemde bir (x(s),y(s)) kapali egrimiz olsun. Duzlemde bir de (x_0,y_0) noktasi verilmis olsun.

Egri kapali oldugundan, x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodiktir, periyotlari da aynidir. Yani Fourier serisi olarak yazabiliriz bunlari. Noktanin egriye en kisa uzakligini bu Fourier katsayilari cinsinden bulmak istiyorum. Boyle bir bilgiye nereden ulasilabilir? En azindan matematigin hangi alt dali bakar bu ise? Tesekkurler.

Kerem

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081230/27317643/attachment.htm 