[MD-sorular] en yakin uzaklik

31 Ara 2008 Çar 12:33:25 EET

Evet simdi daha iyi anladim, tesekkurler. Sorunumun bu sekilde
cozulemeyecegi de belli oldu galiba. Ama yine de aklima takilan sorulari
sormaya devam edeyim.

s, ark uzunlugu parametresi olsun, f(s) = (x(s),y(s)), s \in [0,L] de kapali
egrimiz olsun. Yani egrinin uzunlugu L. Simdi bu f(s) fonksiyonunun tanim
kumesini degistirelim, oyle ki [0,L] araligindaki f(s) [nL,(n+1)L] arasinda
hep tekrar etsin. Yani tanim kumesini boylece eksi sonsuzdan arti sonsuza
cikarmis olduk, fonksiyon da periyodik oldu. Periyodu da L. Fonksiyonlar
ayni degil, ama goruntuleri ayni. Ya da oyle olmasa da, cizdigimizde
gordugumuz sey ayni, simdilik beni ilgilendiren kismi bu.

Ilk sorum soyle ki, goruntusu ayni egriyi veren parametrizasyonlar arasinda,
periyodik olan ve periyodu L olan biricik parametrizasyon bu mudur? Oyle
gibi gorunuyor, ama matematik tuhaf bir bilim, emin olarak soyleyemiyorum.
Eger oyleyse, spesifik olarak bu fonksiyonun fourier katsayilarindan
bahsediyorum. Verilen bir noktanin egriye uzakligi, bu katsayilar cinsinden
bulunabilir mi?

Artik pek bir isime yaramayacak da, merakimdan soruyorum sadece.
Tesekkurler.

Kerem

2008/12/31 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>

> daha once soyledigimiz gibi birim cemberin veya herhangi bir egrinin
> cevresinde bir kere dolasmakla 20 kere dolasmak topolojik olarak ayni
> fonksiyon (ya da egri) degil. cunku birbirlerine surekli bicimde
> donusturulemezler (homotopik degiller...). genelde egri demek (kullanildigi
> yere gore degisebilir tabii) bir araliktan uzayimiza tanimli surekli
> fonksiyon.  mesela complex analiz de bu fonksiyonu gamma ile bu fonksiyonun
> komplex duzlemdeki "goruntusunu" de gamma bar ile gosteriyorlar. simdi
> gelelim sizin soruya:
>
> eger egriyi tanimladigimiz fonksiyondan bahsediyorsaniz yukaridaki ve bir
> onceki mesajtaki topolojik argumanlar gecerli. yok soruda "egrinin
> goruntrusu" nden bahsediyorsaniz (ki sanirim boyle) o zaman bir noktanin bu
> egrinin goruntusune uzakliginin fourier katsayilari cinsinden degeri ne
> demek? bu egri bircok degisik fonksiyonun goruntusu olabilir... hangisinin
> Fourier katsayilarindan bahsediyoruz burda?  dikkatli okuduysaniz, mesela
> benim size yazdigim ilk cevaptaki ornek aslinda bunu soyluyor.  zaten ornegi
> de bu yuzden vermistim... degisik n ler icin exp(-inx) fonksiyonlarini
> almistik, hadi sizin dediginiz gibi yapip (buna gerek bile yok) + sonsuz dan
> eksi sonsuza goruntulerini dusunelim: hepsininki de "birim cember" ve
> hepsinin fourier katsayilari birbirinden farkli, hatta farkli otesi
> birbirlerine dikler!
>
> ark uzunlugu parametresi (arc length parameter) hakkinda yazilanlara
> gelince, s ark uzunlugu olarak soyle tanimlanir (t bir parametre olsun,
> f(t)= (x(t), y(t)) ):
>
> s(t) = integral 0 dan t ye [ 1 + |f ' (t)| ^2 ]^1/2 dt, yani t yi 0 dan
> alip sonsuza gotururseniz s surekli artar... oyle periyodik falan olmaz.
> bunu bile yazmaya gerek yoktu s egri uzerinde yurunen uzakligi soyluyo, niye
> periyodik olsun ki? bir tur attiktan sonraki degeri egrinin uzunlugu arti...
> diye  devam ediyor.
>
> iyi calismalar,
>
> baris
>
> ------------------------------
> *From:* Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
> *To:* barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>; Matematik Dunyasi <
> MD-sorular at matematikdunyasi.org>
> *Sent:* Wednesday, December 31, 2008 10:48:40 AM
>
> *Subject:* Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
>
> Yazdiklarinizi anlamakta zorlaniyorum, o yuzden bir sey daha soracagim.
> Ornegin (cos(s),sin(s)) egrisi birim cemberi verir. Burada s neden eksi
> sonsuzdan arti sonsuza degisemiyor? Yani diyelim ben boyle bir fonksiyon
> tanimladim, elde ettigim sey birim cember degil midir?
>
> Kerem
>
>
>
> On Wed, Dec 31, 2008 at 9:53 AM, barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>wrote:
>
>> s + sonsuz la - sonsuz arasinda degisemez cunku bir egriden bahsederken
>> genelde (acikcasi aksini hic duymadim) x(s) ve y(s) in en azindan surekli
>> oldugu dusunulur. dolayisiyla s i (x(s), y(s)) goturen fonksiyon da
>> sureklidir. ve biliyoruz ki surekli fonksiyonlar tIkIz (compact) kumeleri
>> yine compakt kumelere gotururler. kapali egri sonlu (ve kapali tabii)
>> dolayisiyla da compakt oldugundan s arti sonsuzdan eksi sonsuza degisemez
>> cunku reel sayilar kompakt degil... bu arada bir onceki mesajda acikladigim
>> x(s) fourier serisi kendisine o aralikta uniform yaklasir. eger bu fourier
>> serisini tum reel sayi ekseninde dusunursek tabii ki periyodiktir. s i
>> [aslinda bu notasyonu hic sevmedim cunku s ark uzunlugu parametresi (arc
>> lenght parameter)olarak kullanilir genelde, neyse] arti sonsuzdan eksi
>> sonsuza degistirirsek te egrinin uzerinde tam sayilar kadar dolaniriz. ama
>> biliyoruz ki bir kere dolanmayla dogal sayilar kadar dolanma ayni egri
>> degil. en azindan homotopik degiller, yani birini digerine goturen surekli
>> bir donusum yoktur. uzun lafin kisasi, aradiginiz sey benim o yazdigim o
>> teorem. o belirttigim kitaptan ayrintilara bakarsiniz.
>>
>> baris
>>
>> ------------------------------
>> *From:* Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>> *To:* barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>; md md <
>> MD-sorular at matematikdunyasi.org>
>> *Sent:* Wednesday, December 31, 2008 1:05:31 AM
>> *Subject:* Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
>>
>> Hayir aslinda oyle bir teoremden bahsetmedim. Bana periyodik olur gibi
>> gelmisti, yani s eksi sonsuz ile sonsuz arasinda deger alirken. Peki o zaman
>> oncelikle sunu sorayim. Bir egrinin parametrik yazilimi unique degildir
>> sonucta. Kapali her egrinin, s eski sonsuz ile sonsuz arasinda deger almak
>> uzere, x(s) ve y(s) periyodik olacak sekilde bir parametrizasyonu var midir?
>> Bana vardir gibi geliyor, ama kanitlayamam.
>>
>> Kerem
>>
>>
>> 2008/12/30 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>
>>
>>> kapali egri oldugu zaman x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodik olmak
>>> zorunda degil mesela orijinden (0,0) cikip orijine donen bir egri:
>>>
>>> s eleman [-1,+1],  (x(s),y(s))=(s^2-1, s^3-s + 2s^2 - 2)
>>>
>>> ama sanirim sizin soylemek istediginiz Fourier analiz deki su teorem:
>>>
>>> Thm: f surekliyse, turevinin sadece sonlu sayida sureksiz noktasi varsa
>>> ve f(-pi) = f (pi) ise o zaman f in fourier acilimi f e [-pi, pi] araliginda
>>> duzenli (uniform) bicimde yaklasir. [Fourier series and Integral Transforms,
>>> Pinkus & Zafrany, 57]
>>>
>>> tabii ki burada x(s) ve y(s) egri kapali oldugundan bu ozellikleri
>>> sagliyor. son olarak teorem [-pi,pi] icin olsa da herhangi araliga
>>> tasiyabiliriz.
>>>
>>> sordugunuz soruya gelince biliyosunuz seri acilimini exp(-inx) lerle de
>>> yapabilirirz burada n yi istedigimiz tam sayi seceriz. simdi complex
>>> duzlemde (25, 28) noktasini alalim ve su fonksiyonlari dusunelim
>>> f_n=exp(-inx). Biliyoruz ki bu fonksiyonlarin fourier katsayilari exp(-inx)
>>> icin 1 gerisi icin 0... ama hepsi de birim cemberi veriyor. yani kisacasi
>>> (25,28) yada herhangi bir noktanin uzakligi fourier katsayilarina birebir
>>> bagli olmak zorunda degil...noktanin birim cembere uzakligi hep ayni
>>> (degisik fourier katsayili tum f_n ler icin).
>>>
>>> baris
>>>
>>> ------------------------------
>>> *From:* Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>> *To:* md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
>>> *Sent:* Tuesday, December 30, 2008 4:54:26 PM
>>> *Subject:* [MD-sorular] en yakin uzaklik
>>>
>>> Duzlemde bir (x(s),y(s)) kapali egrimiz olsun. Duzlemde bir de (x_0,y_0)
>>> noktasi verilmis olsun.
>>>
>>> Egri kapali oldugundan, x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodiktir,
>>> periyotlari da aynidir. Yani Fourier serisi olarak yazabiliriz bunlari.
>>> Noktanin egriye en kisa uzakligini bu Fourier katsayilari cinsinden bulmak
>>> istiyorum. Boyle bir bilgiye nereden ulasilabilir? En azindan matematigin
>>> hangi alt dali bakar bu ise? Tesekkurler.
>>>
>>> Kerem
>>>
>>>
>>>
>>
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081231/4eec6db8/attachment.htm 