[MD-sorular] en yakin uzaklik

31 Ara 2008 Çar 14:49:32 EET

birim cemberin uzunlugu 2pi, [0, 2pi] araligini ve yine ilk e-maildaki ornekteki n=1, -1 icin exp(-ix) ve exp(ix) fonksiyonlarini alirsak bunlarin periyotlari aynidir...ve bunlarin fourier katsayilari daglar kadar farklidir. hatta bu iki fonksiyon sizin soylediginiz sekilde biricik bir parametrizasyon olmadigini gosterir. simdi hadi bunlardan birini sacmek istiyorum derseniz: hayir secemezsiniz!  hicbir vektor uzayinda kanonik (canonical) bir orthogonal baz secimi yoktur. hatta bakin tek boyutta bile iki tane var: 0-1 vektoru ve 0-(-1) vektoru bu vektorlerden hicbirisi digerinden daha iyi degildir... sordugunuz soruyla ilgili olarak daha spekulatif yada daha teknik olmayan seyler soyleyecek olursak:

genel olarak geometride (uzaklik soruyorsunuz bu geometrik bir soru) geometriciler hicbir zaman (ben duymadim...) geometrik bir ozelligi belli koordinatlar cinsinden ifade etmek istemezler. hesaplamalarda belli koordinatlari kullansalarda geometride genel kural sonunda yaptigimiz isin koordinat bagimsiz (coordinate independent) oldugunu gostermektir... sizin sorunuzdaki en temel problem bu. bir noktanin egriye uzakligi gibi geometrik bir soruyu belli bir vektor uzayinda (bir fonksiyon uzayi), hicbir nedene bagli olmaksizin secilmis bir ortonormal baz ( exp(inx) ler) cinsinden koordinatlar (fourier katsayilari) olarak ifade etmeye calisiyorsunuz...  halbuki birincisi egri gibi geometrik bir objeye karsilik gelen bir "canonical" fonksiyon yok, ikincisi bunun koordinatlari bizim neyi baz olarak sectigimize baglantili olarak degisir. mesela exp(inx) leri baz olarak alirsak exp(inx) in fourier katsayilari ....0,1,0,0,0,.... olur. eger cos(nx) ve sin(nx) leri
 secersek 1 ve i olur... soru ya da bakis acisi bu acidan mantiksiz gibi gorunuyor.

baris

________________________________
From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>; Matematik Dunyasi <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Wednesday, December 31, 2008 12:33:25 PM
Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik

Evet simdi daha iyi anladim, tesekkurler. Sorunumun bu sekilde cozulemeyecegi de belli oldu galiba. Ama yine de aklima takilan sorulari sormaya devam edeyim.

s, ark uzunlugu parametresi olsun, f(s) = (x(s),y(s)), s \in [0,L] de kapali egrimiz olsun. Yani egrinin uzunlugu L. Simdi bu f(s) fonksiyonunun tanim kumesini degistirelim, oyle ki [0,L] araligindaki f(s) [nL,(n+1)L] arasinda hep tekrar etsin. Yani tanim kumesini boylece eksi sonsuzdan arti sonsuza cikarmis olduk, fonksiyon da periyodik oldu. Periyodu da L. Fonksiyonlar ayni degil, ama goruntuleri ayni. Ya da oyle olmasa da, cizdigimizde gordugumuz sey ayni, simdilik beni ilgilendiren kismi bu.

Ilk sorum soyle ki, goruntusu ayni egriyi veren parametrizasyonlar arasinda, periyodik olan ve periyodu L olan biricik parametrizasyon bu mudur? Oyle gibi gorunuyor, ama matematik tuhaf bir bilim, emin olarak soyleyemiyorum. Eger oyleyse, spesifik olarak bu fonksiyonun fourier katsayilarindan bahsediyorum. Verilen bir noktanin egriye uzakligi, bu katsayilar cinsinden bulunabilir mi?

Artik pek bir isime yaramayacak da, merakimdan soruyorum sadece. Tesekkurler.

Kerem

2008/12/31 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>

daha once soyledigimiz gibi birim cemberin veya herhangi bir egrinin cevresinde bir kere dolasmakla 20 kere dolasmak topolojik olarak ayni fonksiyon (ya da egri) degil. cunku birbirlerine surekli bicimde donusturulemezler (homotopik degiller...). genelde egri demek (kullanildigi yere gore degisebilir tabii) bir araliktan uzayimiza tanimli surekli fonksiyon.  mesela complex analiz de bu fonksiyonu gamma ile bu fonksiyonun komplex duzlemdeki "goruntusunu" de gamma bar ile gosteriyorlar. simdi gelelim sizin soruya:

eger egriyi tanimladigimiz fonksiyondan bahsediyorsaniz yukaridaki ve bir onceki mesajtaki topolojik argumanlar gecerli. yok soruda "egrinin goruntrusu" nden bahsediyorsaniz (ki sanirim boyle) o zaman bir noktanin bu egrinin goruntusune uzakliginin fourier katsayilari cinsinden degeri ne demek? bu egri bircok degisik fonksiyonun goruntusu olabilir... hangisinin Fourier katsayilarindan bahsediyoruz burda?  dikkatli okuduysaniz, mesela benim size yazdigim ilk cevaptaki ornek aslinda bunu soyluyor.  zaten ornegi de bu yuzden vermistim... degisik n ler icin exp(-inx) fonksiyonlarini almistik, hadi sizin dediginiz gibi yapip (buna gerek bile yok) + sonsuz dan eksi sonsuza goruntulerini dusunelim: hepsininki de "birim cember" ve hepsinin fourier katsayilari birbirinden farkli, hatta farkli otesi birbirlerine dikler! 

ark uzunlugu parametresi (arc length parameter) hakkinda yazilanlara gelince, s ark uzunlugu olarak soyle tanimlanir (t bir parametre olsun, f(t)= (x(t), y(t)) ):

s(t) = integral 0 dan t ye [ 1 + |f ' (t)| ^2 ]^1/2 dt, yani t yi 0 dan alip sonsuza gotururseniz s surekli artar... oyle periyodik falan olmaz. bunu bile yazmaya gerek yoktu s egri uzerinde yurunen uzakligi soyluyo, niye periyodik olsun ki? bir tur attiktan sonraki degeri egrinin uzunlugu arti... diye  devam ediyor.

iyi calismalar,

baris

________________________________
From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>; Matematik Dunyasi <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Wednesday, December 31, 2008 10:48:40 AM

Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik

Yazdiklarinizi anlamakta zorlaniyorum, o yuzden bir sey daha soracagim. Ornegin (cos(s),sin(s)) egrisi birim cemberi verir. Burada s neden eksi sonsuzdan arti sonsuza degisemiyor? Yani diyelim ben boyle bir fonksiyon tanimladim, elde ettigim sey birim cember degil midir?

Kerem

On Wed, Dec 31, 2008 at 9:53 AM, barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com> wrote:

s + sonsuz la - sonsuz arasinda degisemez cunku bir egriden bahsederken genelde (acikcasi aksini hic duymadim) x(s) ve y(s) in en azindan surekli oldugu dusunulur. dolayisiyla s i (x(s), y(s)) goturen fonksiyon da sureklidir. ve biliyoruz ki surekli fonksiyonlar tIkIz (compact) kumeleri yine compakt kumelere gotururler. kapali egri sonlu (ve kapali tabii) dolayisiyla da compakt oldugundan s arti sonsuzdan eksi sonsuza degisemez cunku reel sayilar kompakt degil... bu arada bir onceki mesajda acikladigim x(s) fourier serisi kendisine o aralikta uniform yaklasir. eger bu fourier serisini tum reel sayi ekseninde dusunursek tabii ki periyodiktir. s i [aslinda bu notasyonu hic sevmedim cunku s ark uzunlugu parametresi (arc lenght parameter)olarak kullanilir genelde, neyse] arti sonsuzdan eksi sonsuza degistirirsek te egrinin uzerinde tam sayilar kadar dolaniriz. ama biliyoruz ki bir kere dolanmayla dogal sayilar kadar dolanma ayni egri degil. en azindan
 homotopik degiller, yani birini digerine goturen surekli bir donusum yoktur. uzun lafin kisasi, aradiginiz sey benim o yazdigim o teorem. o belirttigim kitaptan ayrintilara bakarsiniz. 

baris

________________________________
From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>; md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Wednesday, December 31, 2008 1:05:31 AM
Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik

Hayir aslinda oyle bir teoremden bahsetmedim. Bana periyodik olur gibi gelmisti, yani s eksi sonsuz ile sonsuz arasinda deger alirken. Peki o zaman oncelikle sunu sorayim. Bir egrinin parametrik yazilimi unique degildir sonucta. Kapali her egrinin, s eski sonsuz ile sonsuz arasinda deger almak uzere, x(s) ve y(s) periyodik olacak sekilde bir parametrizasyonu var midir? Bana vardir gibi geliyor, ama kanitlayamam.

Kerem

2008/12/30 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>

kapali egri oldugu zaman x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodik olmak zorunda degil mesela orijinden (0,0) cikip orijine donen bir egri:

s eleman [-1,+1],  (x(s),y(s))=(s^2-1, s^3-s + 2s^2 - 2)

ama sanirim sizin soylemek istediginiz Fourier analiz deki su teorem:

Thm: f surekliyse, turevinin sadece sonlu sayida sureksiz noktasi varsa ve f(-pi) = f (pi) ise o zaman f in fourier acilimi f e [-pi, pi] araliginda duzenli (uniform) bicimde yaklasir. [Fourier series and Integral Transforms, Pinkus & Zafrany, 57]

tabii ki burada x(s) ve y(s) egri kapali oldugundan bu ozellikleri sagliyor. son olarak teorem [-pi,pi] icin olsa da herhangi araliga tasiyabiliriz. 

sordugunuz soruya gelince biliyosunuz seri acilimini exp(-inx) lerle de yapabilirirz burada n yi istedigimiz tam sayi seceriz. simdi complex duzlemde (25, 28) noktasini alalim ve su fonksiyonlari dusunelim f_n=exp(-inx). Biliyoruz ki bu fonksiyonlarin fourier katsayilari exp(-inx) icin 1 gerisi icin 0... ama hepsi de birim cemberi veriyor. yani kisacasi (25,28) yada herhangi bir noktanin uzakligi fourier katsayilarina birebir bagli olmak zorunda degil...noktanin birim cembere uzakligi hep ayni (degisik fourier katsayili tum f_n ler icin).

baris

________________________________
 From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Tuesday, December 30, 2008 4:54:26 PM
Subject: [MD-sorular] en yakin uzaklik

Duzlemde bir (x(s),y(s)) kapali egrimiz olsun. Duzlemde bir de (x_0,y_0) noktasi verilmis olsun.

Egri kapali oldugundan, x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodiktir, periyotlari da aynidir. Yani Fourier serisi olarak yazabiliriz bunlari. Noktanin egriye en kisa uzakligini bu Fourier katsayilari cinsinden bulmak istiyorum. Boyle bir bilgiye nereden ulasilabilir? En azindan matematigin hangi alt dali bakar bu ise? Tesekkurler.

Kerem

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081231/fbcf1741/attachment.htm 