Re: [MD-sorular] n tane düzlem kaç uzayı bölgeye ayırır?

[E. Mehmet Kıral]

Düzlemlerin genel durumda olduğunu söylüyorsunuz muhtemelen, yani biri
diğerine paralel değil, ayrıca 3 tanesi bir doğru ya da 4 tanesi bir
nokta üzerinde kesişmiyor.

Şimdi herhangi bir düzlem alalım, adına da D diyelim. Bu düzlem, diğer
hepsini kesiyor (çünkü hiçbir düzlem birbirine paralel değil). Bu
kesişimlerin hepsi D üzerinde doğrular verir ve D'yi parçalara ayırır.
D'nin üzerindeki doğruların birbirlerine paralel olmadığına ve üçünün
bir noktada kesişmediğine dikkat edin.

Eğer n+1 tane düzlem varsa n tane doğru var D'nin üzerinde ve
biliyoruz ki n doğru D'yi tam (n^2 + n + 2)/2 parçaya ayırır.
Eğer D düzlemi olmasaydı uzayın B(n) bölgeye ayrılacağını yazalım, B(1) = 2.
B(n+1) = B(n) + (n^2 + n + 2)/2, çünkü D düzlemi tam (n^2 + n + 2)/2
bölgeyi ikiye ayırıyor, bir o kadarını daha bölge listemize ekliyor.

Buradan da bölge sayısı için bir formül çıkartabiliriz,

B(n) = (n^3 + 5n + 6)/6

ama daha iyisini de yaptık aslında, çok genel bir yöntem elde ettik.
Örneğin şimdi n tane 3 boyutlu hiperdüzlemin bir 4 boyutlu uzayı en
çok kaç parçaya ayırdığını da bulabiliriz. Eğer C(n) bunların sayısı
ise o zaman,
C(n+1) = C(n) + B(n), çünkü 3 boyutlu hiperdüzlemlerden birini seçip
diğerlerinin bununla kesişmine bakarsak oluşan her bir bölge (ki
bunlardan B(n) tane var) varolan 4 boyutlu bölgeleri ikiye ayırıyor
demektir. Demek ki bir o kadarını ekliyoruz bölge sayısına. C(1) = 2

Hatta R^k'yi n tane hiperdüzlemin n'nin k. dereceden polinomu sayıda
bölgeye ayıracağını görebiliyoruz daha hiçbir hesap yapmadan. Açık
formülleri de MD'de Tosun Terzioğlu'nun "sayıların güçlerini toplamak"
yazısını okuduktan sonra, bir de bununla ilgili bir yazı daha vardı,
onları okuduktan sonra hesaplayabilirsiniz.

Büyük boyutlara genelleştirmede tereddüt edenlere; Bir hiperdüzlem
dışbükey bir bölgeyi en fazla ikiye bölebilir, ve eğer içinden geçerse
de bunu yapar. Elimizdeki bölgeler de yarıuzayların kesişimleri, yani
dışbükeyler.

NOT: düzlemin doğrularla kaç parçaya ayrılacağı da aynı şekilde
bulunmuştur, Düzlemde n+1 doğru olsun. Bir doğru alın, n tane noktada
keser diğer doğrular bu doğruyu. Demek ki doğruyu n+1 parçaya
ayırırlar. Demek ki A(n+1) = A(n) + n+1. Ayrıca A(1) = 2.

2008/1/27, TAMER FIRAT <tamerfirat at hotmail.com>:
>
>  Merhaba, Sayın hocalarım.
>  "n tane düzlem kaç  uzayı bölgeye ayırır?"  sorusunun bir formülü var mı?
>  yardımlarınız için şimdiden teşekkür ederim........
>
> ________________________________
> Climb to the top of the charts! Play the word scramble challenge with star
> power. Play now!
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")