[MD-sorular] denklik bagintisi: apartman ve domatesler

[Ali İlik]

Ünlüsünü-önemlisini bilmiyorum ama anlaşılmasında çok yararlı olacağını düşündüğüm iki örneği veriyorum.

Örnek 1. Bir apartmanda aynı katta oturma bir denklik bağıntısıdır.

Özpınar Apartmanı diye bir apartmanımız olsun.

A= { i: i, Özpınar Apartmanı'nda oturan bir insandır. }
B= { (x,y): x insanı ile y insanı Özpınar Apartmanı'nda aynı katta oturmaktadır. }

kümelerini tanımlayalım.

B kümesi AxA'nın bir altkümesidir. Dolayısıyla A'dan A'ya bir bağıntıdır.

Şimdi bunun denklik bağıntısı olduğunu görelim ve denklik sınıflarını bulalım.

1. Yanısıma: Her x E A, (x,x) E A. Çünkü Tuğçenur Özpınar Apartmanı'nda oturuyorsa elbette Tuğçenur ile Tuğçenur aynı katta oturur. Çünkü bir insan iki farklı katta oturamaz.

2. Simetri: Her (x,y) E B, (y,x) E B elbette. (Bunu biraz detaylı açıklamaya çalışalım.)
Çünkü Tuğçenur'la Abdurrahman aynı katta oturuyorsa ve biri bunu bildiği halde "Peki, Abdurrahman'la Tuğçenur da aynı katta oturuyor mu? diye sorsa yanıt 'Evet'tir.

[ Zira Abdurrahman ile Tuğçenur farklı katta otursalardı, o zaman aynı katta oturmamış olurlardı.
O zaman Tuğçenur ile Abdurrahman da farklı katta oturuyor olurdu. 
Yani Tuğçenur ile Abdurrahman aynı katta oturmuyor olurdu. Çelişki.
Demek ki gerçekten de Abdurrahman'la Tuğçenur da aynı katta oturuyorlarmış Tuğçenur ve Abdurrahman gibi. ]

3.Geçişlilik: Her x, y, z E A, (x,y) ve (y,z) E B => (x,z) E B.

Örnekle açıklayalım bunu da: Şinasettin ile Cemile 4. katta ve Cemile ile Cenkaycan da 4. katta oturuyorsa elbette Şinasettin ile Cenkaycan da 4. katta oturan iki kişidir.

Denklik bağıntısı kısmı tamam. Denklik sınıflarını araştıralım şimdi de. 
Bir x elemanının denklik sınıfı (x,y) E B  olacak şekildeki tüm y elemanlarının kümesidir. (Dikkat! Denklik sınıfı bir kümedir.)

Örneğin Cemile'nin denklik sınıfını bulalım.

Cemile 4. katta oturuyordu. Ayhan diye biri 5. katta otursun. Bakalım Ayhan Cemile'nin denklik sınıfında mı?
Öyle olsaydı (Cemile, Ayhan) bağıntının elemanı olurdu. Ama değil çünkü ikisi farklı katlarda oturuyor.

4. katta oturan herkes Cemile'nin denklik sınıfının elemanıdır. Cemile'nin kendisi de.

Demek ki aynı katta oturan iki kişi denktir. (x,y) E B yerine x~y (Bağıntılar konusunda geçiyorsa bu ifade, "x denktir y." şeklinde okunur.) gösterimi de kullanılır.
İkisi de aynı şey.

Örnek 2. Bir manavda aynı kasadaki sebzeler denklik bağıntısı oluşturur.

Bunu da yukarıdaki kadar olmasa da biraz ayrıntılı görelim. En azından kümemizi ve bağıntımızı net olarak yazmaya çalışalım.

S= {s: Manav Nurettin Amca'nın dükkanındaki herhangi bir sebze.}

Sebzeleri tek tek anlayalım. Yani maydonoz deyince bir demet maydonoz olsun. Hatta belli bir maydonoza da isim verebiliriz. Örneğin m_1.
Ve varsayalım ki Nurettin Amca'nın dükkanındaki tüm sebzeler kasalara yerleştirilmiş olsun. Hiç çuvalda, yerde falan olmasın yani.

Aslında daha basit olarak şu şekilde açıklayabilirdik: Manavda 10 kasa var. Bu kasalarda domatesler var. Tamam o zaman domateslerden devam edelim.

S kümesinden vazgeçtik!

D= {d: d kasalardaki domateslerden herhangi biri}
B={ (x,y): x ve y aynı kasada yer alan iki domates}

Denklik sınıflarıyla ilgili bilinen iki temel ve kanıtları basit olan teoremi yukarıdaki örnekler üzerinden düşünmek konuya yeni başlayanlar için yararlı olabilir.

"x, y'nin denklik sınıfındaysa, y de x'in denklik sınıfındadır." ve
 "Denklik sınıfları ya ayrıktır ya çakışıktır." 

Nerede bir parçalanış (partition) varsa orada bir denklik bağıntısı var demektir. Tersi de öyle.

Bunu geçen sene yazokulunda söylediğimde Ali Nesin "Zaten denklik bağıntısı demek anlamsız. 
Onun adı partition." demişti ya da bunun tam tersini ("Partition demek anlamsız. Onun adı denklik bağıntısı") demişti. Hatırlamıyorum.  

Yani özde neyden bahsettiğimizi bilmek önemli. Ha denklik bağıntısı ha parçalanış.




  ----- Original Message ----- 
  From: zehra Taşpınar 
  To: md-sorular at matematikdunyasi.org 
  Sent: Friday, July 18, 2008 12:45 PM
  Subject: [MD-sorular] (konu yok)


  önemli denklik bağıntıları nelerdir ?    daha doğrusu ünlü denklik bağıntıları..
  denklik bağıntısı tanımlanmasaydı tamsayılar doğal sayılar rasyonel sayılar inşaa edilemeyecekti. bunu biliyorum. peki Z7 nin önemi nedir denklik bağıntısında?
   


------------------------------------------------------------------------------
  Aileniz ve arkadaşlarınızla paylaşmak için bir ayda 500'e kadar fotoğraf gönderin! Şimdi ücretsiz Windows Live Alanınıza gidin Buraya tıkla! 


------------------------------------------------------------------------------


  _______________________________________________
  MD-sorular e-posta listesi
  sorular at matematikdunyasi.org
  http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080719/724859f4/attachment.htm