[MD-sorular] diziler ve seriler

[tibet efendi]

Merhaba... Ufak bir kac fikir, belki yardimci olur.

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +..... diye uzayip giden serinin yeterince uzatilirsa her sayiyi asacagini (sonsuza iraksadigini) kanitlayin. Kaniti ben cok ilginc buluyorum. Her lise ögrencisinin anlayabilecegi bir kaniti var. Bu miniminnacik ve giderek kuculen artislarin bir yerde tikanip kalmasi gerekiyormus gibi geliyor insana. Ama öyle olmuyor.

Bu kanitin yardimiyla su ilginc olayi kanitlayabilirsiniz:
Lastik bir bandin uzerinde yuruyen bir sumuklu bocek var. Lastik bant 1 kilometre uzunlugunda. Sumuklu böcek ise saatte ancak 1 metre yol alabiliyor.
Her saatin sonunda lastik band ucundan cekilerek 1 kilometre uzatiliyor. (yani ornegin 6. saat icerisinde bandin uzunlugu 6 kilometre)
Iddia ise su: Bu sumuklu bocek yeterli zaman verilirse bandin sonuna ulasabilir!
Burada dikkat edilmesi gereken sey su: Bant uzatildiginda homojen olarak uzuyor. Yani sumuklu bocegin geride biraktigi yol da ayni oranda uzuyor.

Evet hic bir sumuklu bocegin omru bu kadar uzun olamaz. Ya da böyle uzadikca uzayabilen bir lastik bant olamaz. Ama umut sünyasi iste...

Ali Nesin'in Matematik Dunyasi'nda ilk meseleyi de kanitlayan guzel bir yazisi vardi. O yazi da size yardimci olur.

Daha derine inmek isterseniz bir dizinin yakinsamasi'nin matematiksel tanimi uzerine bir seyler yapabilirsiniz. Insana basta garip gelen ama cok guzel bir tanimi var.
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... diye giden serininin sifira surekli yaklasmasi ama hicbir zaman degmemesi bu dizinin "sifira yakinsadigi" anlamina geliyor.
Ama bu "surekli daha cok yaklasma" yeterli bir tanim degil. Cunku ayni dizi -1'e de -100'e de (sayilarin baslarinda eksi var) surekli yaklasiyor ama hic bir zaman degmiyor. Iste bu yuzden yakinsamanin o garip ama guzel tanimina ihtiyac var.

Basit orneklerle konuya baslamak isterseniz. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... diye giden seriyi sayi dogrusu uzerinde cizip 2 ye yakinsadagina bakabilirsiniz. Paydalar 2 nin degil de baska bir sayinin usleri olsaydi da bu seri bir yerlere yakinsiyor. Hatta bunun bir formulu de mevcut. Bu serilere geometrik seriler deniyor. O formulu kanitlayabilirsiniz.

Bence eglenceli bir konu secmissiniz. Dedigim gibi Ali Nesin'in o yazilari cok guzeldi. O yazi derginin internete konmus sayilarindan birindeydi. Inernet sayfasinda yazinin pdf halini bulabilirsiniz.
Umarim yardimci olmusumdur

Basarilar...