[MD-sorular] Fourier Serileri ve Sigma 1/n^2

[tibet efendi]

Merhaba,

Derste 1/1 + 1/4 + 1/9 + .... diye giden serinin pi^2/6 ya yakinsadigini Fourier serileri ile kanitladik.
Buna benzer 5-6 adet daha serinin yine icinde Pi'yle ifade edilen sayilara yakinsadigini odevlerde Fourier serileri ile bizzat kanitladim.
Ama yine de mesele benim icin net degil.

Fourier serilerinin mantigini anladim sayilir. Yani {1/kok2, sin(nx), cos(nx)} ailesi ortonormal bir basis olusturuyorlar o integralli bilineer forma gore. Biz de fonksiyonlarin bu basise gore koordinatlarini buluyoruz. Garip ama gercek.

Ama aklima yatmayan sey su: Bildigimiz Pi, bir cemberin capina orani. Bu dizinin bir cemberle ne gibi bir ilgisi olabilir? Tamam Pi nin baska bir tanimi yapilir o tanimla cemberli tanimin es oldugu gosterilir o tanimdan buraya varilir falan. Ama cemberle boyle dolayli degil de direk  bir ilgisi yok mu bu serinin?

1/1 + 1/4 + 1/9 + .... serisinin pi^2/6 ya yakinsadigini Fourier serileri olmadan kanitlayamiyor muyuz? Olayin cemberle baglantisini direk kurarak... 
Euler nasil kanitlamis bilen var mi?

Bu Euler gibi insanlarin aklina bu fikirler nasil geliyor? Herhalde kagit kalemle denerken tesadüfen bulmuyorlar. Tamam ben bu fikirleri bulamayabilirim. Euler o yuzden Euler oldu diyebilirsiniz. Ama en azindan hangi yollardan fikir yurutup bu sonuca vardigini anlayabilmeliyim, vahiy inmiyor ya bu adama. Bunu anlamazsam bence olayin ezberlemekten farki kalmiyor. Yani formul ezberlemek yerine kanit ezberlemek...

Adam diyor ki: "Bakin su fonsiyonun Fourier serisini buluyoruz.. Serinin Pi'deki degerine bakiyoruz. Hooop buradan bir bolu enkare serisinin Pi kare bolu altiya yakinsadigi cikiyor. Abra kadabra!!!" O fonksiyonu deneyerek mi buldun be adam?

Neden bahsettigimi anlayan varsa yardimci olabilir mi?

Matematik Dünyasi'nda islenmis olabilir bu konu. Yurtdisinda oldugumdan son sayilara ulasamiyorum.

Iyi gunler herkese...