Re: [MD-sorular] Fark etmiş miydiniz?

[tibet efendi]

Evet dedigim gibi akilsizlik yapiyormusum. Nedense <v, w> = a +bi ; <w, v> = c + di yazip ne cikiyor diye bakmak aklima gelmedi.
Bir bira icince olay aydinliga kavustu. 
Sorum belki saka gibi gelmistir. Saka degil, cidden oraya kadar gelip devamini yapamamistim.

----- Original Message ----
From: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
To: Matematik Dunyasi <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Tuesday, June 10, 2008 11:58:04 AM
Subject: Re: [MD-sorular] Fark etmiş miydiniz?

"<v+w, v+w> € R ile <v+iw, v + iw> € R içindeliklerini kullanarak hemen
gösterilebiliyor." demissiniz. Bir turlu beceremiyorum. Nasil hemen gösteriliyor?

<v+w, v+w>      = <v, v> + <w, w> + <v, w> + <w, v>  € R   tamam
<v+iw, v + iw>  = <v, v> + <w, w> - i<v, w> + i<w, v>  € R   bu da tamam
<v, v> ve <w, w> nin de reel oldugunu biliyoruz. Amacimiz <v, w>nin <w, v>nun konjugesi oldugunu gostermek.
Buradan bir sey cikaramiyorum. Buraya kadar dogru sanirim. Yanlis yolda mi ilerliyorum? Lisans 1. siniftayim bir akilsizlik yapiyorsam hos gorun.

Baska bir sey daha var. Bu da ilginc sanki. Ben konuya yeniyim. Ilginc olmayabilir de. Soyle ki:
Bir bilineerformun konjuge simetrik ve ilk argumaninda lineer olmasi ikinci argumaninda konjuge lineer olmasina yetiyor.
Ya da: konguje simetrik ve ikinci argumaninda konguje lineer olmasi ilk argumaninda lineer olmasina yetiyor.

Hermitesche formlarin (turkcesi de boyle bir sey olsa gerek) taniminda rastladim buna.
(1) ilk arguman da lineer
(2) ikinci argumanda konguje lineer
(3) konjuge simetrik
olunca hermitesche form olur.

Diyorlar ki
Aslinda (1) ve (3)'ten (2) veya 
(2) ve (3)'ten (1) kanitlanabilir.
Ama tanimda olay daha net gorunsun diye uc ozellik birden soylenir.

Kaniti kolay oluyor bunun. Yani (1) ve (3) ten (2) kolay oluyor.. digeri de herhalde kolaydir, denemedim.


----- Original Message ----
From: E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
To: "md-sorular at matematikdunyasi.org" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Monday, June 9, 2008 6:08:15 PM
Subject: [MD-sorular] Fark etmiş miydiniz?

Geçenlerde (kendi başıma değil, bir atölye çalışmasında herkesle
beraber) şimdiye kadar fark etmediğime şaşırdığım bir olguyu fark
ettim. Paylaşmak istedim.

V, karmaşık sayılar üzerine bir vektör uzayı ve < , > bu uzay üzerine
bir adet birbuçuk form (sesquilinear form) olsun. Yani ilk
koordinatında lineer, ikinci koordinatında ise konjüge lineer
(sabitler dışarıya eşlenik olarak çıkıyor).

Verili formun "positive semidefinite" olması konjüge simetrik olmasına
yetiyor. Hatta her v \in V için <v,v> \in R olduğunu koşmamız bile
yeterli.
<v+w, v+w> € R ile <v+iw, v + iw> € R içindeliklerini kullanarak hemen
gösterilebiliyor.

Bilmiyorum, belki zaten herkes tarafından fark edilmiş bir olgudur,
ancak benim bu gerçekten bunca zaman haberimin olmamış olması beni
şaşırttı. Sanırım şimdiye kadar karşılaştığım tüm sunumlar karmaşıklar
için ayrı bir durum ayırmadığı için bundan bihaberim. Çünkü iddia
gerçel vektör uzayları üzerine doğru değil. Orada bilineer bir form
aldığınız zaman, form pozitif olsa dahi, simetrik olması gerekmiyor.

İyi günler.