[MD-sorular] Fourier Serileri ve Sigma 1/n^2

[haydar göral]

   Euler aslında bu dediğinizin tam kanıtını yapmamıştır ama kullandığı
yöntem şöyledir.
İlk olarak sinüs^ü sonsuz toplam olarak yazabilmiştir, yani güç serisi
olarak.Zaten o zamanlar fonksiyonlar güç serileri olarak yazılabilenlerdi
.Sonra sin(pi*x)/pi*x fonksiyonun kökleri tamsayılardır demiş.Sonra bu
fonksiyonu sanki polinommuş sonsuz çarpım olarak yazmış;
sin(pi*x)/pi*x=product(1-x/n) n eleman Z(tamsayılar).Sonra bu sonsuz
çarpımla sonsuz toplamı eşitlemiş(yani x in güçlerinin katsayılarını
eşitlemiş) ve sonucu bulmuş.Aslında yukardan sayıların terslerinin 4. gücünü
de hesaplayabilirsiniz.

  Bu serinin fourier analazini kullanmadan pek çok kanıtı vardır.Yukarda
yazdığım Euler^den çok sonra kanıtlanmış.Bu seri iki katlı integral olarak
ta ifade edilebilir,bu tip kanıtlarda vardır sadece reel analiz
kullanılarak.

Haydar






On 6/10/08, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:
>
> "vahiy inmiyor ya bu adama."
>
> Ben Euler'in peygamber olduğuna inanıyorum.
>
> Şaka bir yana, derste hocamız -isim verebilirim: Osman Bizim- yarı şaka
> yarı ciddi "Euler ve Gauss gibi matematikçilerin insan olduğuna
> inanmıyorum." demişti bir keresinde.
>
> ---
> MD 2006-I'in önsözü biraz da "matematikte derinlik/pat diye görmek/zamanla
> görmek" kavramlarıyla alakalı yanlış hatırlamıyorsam.
>
> a.
>
>
> 10 Haziran 2008 Salı 17:16 tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
> yazmış:
>
>> Merhaba,
>>
>> Derste 1/1 + 1/4 + 1/9 + .... diye giden serinin pi^2/6 ya yakinsadigini
>> Fourier serileri ile kanitladik.
>> Buna benzer 5-6 adet daha serinin yine icinde Pi'yle ifade edilen sayilara
>> yakinsadigini odevlerde Fourier serileri ile bizzat kanitladim.
>> Ama yine de mesele benim icin net degil.
>>
>> Fourier serilerinin mantigini anladim sayilir. Yani {1/kok2, sin(nx),
>> cos(nx)} ailesi ortonormal bir basis olusturuyorlar o integralli bilineer
>> forma gore. Biz de fonksiyonlarin bu basise gore koordinatlarini buluyoruz.
>> Garip ama gercek.
>>
>> Ama aklima yatmayan sey su: Bildigimiz Pi, bir cemberin capina orani. Bu
>> dizinin bir cemberle ne gibi bir ilgisi olabilir? Tamam Pi nin baska bir
>> tanimi yapilir o tanimla cemberli tanimin es oldugu gosterilir o tanimdan
>> buraya varilir falan. Ama cemberle boyle dolayli degil de direk  bir ilgisi
>> yok mu bu serinin?
>>
>> 1/1 + 1/4 + 1/9 + .... serisinin pi^2/6 ya yakinsadigini Fourier serileri
>> olmadan kanitlayamiyor muyuz? Olayin cemberle baglantisini direk kurarak...
>> Euler nasil kanitlamis bilen var mi?
>>
>> Bu Euler gibi insanlarin aklina bu fikirler nasil geliyor? Herhalde kagit
>> kalemle denerken tesadüfen bulmuyorlar. Tamam ben bu fikirleri
>> bulamayabilirim. Euler o yuzden Euler oldu diyebilirsiniz. Ama en azindan
>> hangi yollardan fikir yurutup bu sonuca vardigini anlayabilmeliyim, vahiy
>> inmiyor ya bu adama. Bunu anlamazsam bence olayin ezberlemekten farki
>> kalmiyor. Yani formul ezberlemek yerine kanit ezberlemek...
>>
>> Adam diyor ki: "Bakin su fonsiyonun Fourier serisini buluyoruz.. Serinin
>> Pi'deki degerine bakiyoruz. Hooop buradan bir bolu enkare serisinin Pi kare
>> bolu altiya yakinsadigi cikiyor. Abra kadabra!!!" O fonksiyonu deneyerek mi
>> buldun be adam?
>>
>> Neden bahsettigimi anlayan varsa yardimci olabilir mi?
>>
>> Matematik Dünyasi'nda islenmis olabilir bu konu. Yurtdisinda oldugumdan
>> son sayilara ulasamiyorum.
>>
>> Iyi gunler herkese...
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080610/363fd97e/attachment.htm