[MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?

[tibet efendi]

Sorum su: "p ve q asal sayilar olmak üzere pq elemanli abelyen bir grup neden devirli olmak zorundadir?"

(**) Biliyorum ki sonlu bir grubun icinde dereceleri aralarinda asal (diyelim u ve v) olan iki eleman varsa derecesi u*v olan bir eleman daha kesinlikle vardir.

Simdi bu yazdigim teoremden hareketle söyle düsünüyorum:
Gruptan e olmayan bir a elemani seciyorum. a'nin derecesi sonlu olmak zorunda cünkü grup sonlu. a'nin ürettigi bir altgrup var (<a> deniyor buna). <a>=G ise zaten sorun yok. Esit olmasin. Bu durumda Lagrange'in kanunundan dolayi (altgrubun derecesi grubun derecesini böler) <a> ya p elemanli ya da q elemanli olmak zorunda. Simdi <a> da olmayan bir b elemani seciyorum. Yine <b> G'ye esit olmasin.

Buraya kadar geldim. Simdi <b> nin eleman sayisinin <a> ya esit olamayacagini göstersem (**) teoremiyle is bitecek. Nasil gösterecegim bilemiyorum. Dogru yol mudur? Grubun abelyen olmasini hic kullanmadim. Onu bir yerde kullanmak gerekiyor.

Bir de tabi ki bir grubun derecesi ayni olan birden cok altgrubu olabilir. Ama bu soru özelinde grup devirli cikacak. Eleman sayisi iki asal sayinin carpimi. Yani birbirinden farkli ama derecesi ayni altgrup olamaz. Bana oradan ilerlemem gerekiyormus gibi geliyor.

Abelyen gruplarin derecelerini bölen her asal p icin p elemanli altgruplarinin oldugunun kanitini buldum. Onunla kanitlaniyor bu soru. Ama onu kullanmadan daha kolay kaniti olmali. Bulamiyorum.

Ilgilenenlere simdiden tesekkürler

Tibet


      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081106/8ef23b91/attachment.htm