[MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?

[Ali Nesin]

Yazilan her sey yanlis, hem de cok yanlis!

 

“H değişmelidir, dolayısıyla normaldir.” Yanlis. Degismeli bir altgrup
normal olmak zorunda degil. Yani G/H’den sozedemeyiz. Ama diyelim H normal,
o zaman da gerisi yanlis: H’nin h elemaninin derecesi p ise, G/H’nin
uretecinin derecesi q ise, gh’nin derecesi pq olmak zorunda degil. Ornek 2p
elemanli dihedral grup.

 

“(**) Biliyorum ki sonlu bir grubun icinde dereceleri aralarinda asal
(diyelim u ve v) olan iki eleman varsa derecesi u*v olan bir eleman daha
kesinlikle vardir.” Bu da yanlis. Ornek : 2p elemanli dihedral grup.

 

“Sorum su: "p ve q asal sayilar olmak üzere pq elemanli abelyen bir grup
neden devirli olmak zorundadir?"”

Hayir, abelyen olmak zorunda degildir. Ornek : 2p elemanli dihedral grup.

 

Ali

 

 

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of berat okutan
Sent: Friday, November 07, 2008 11:31 AM
To: tibetefendi at yahoo.com; MD MD
Subject: Re: [MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli
olmak zorundadir?

 

H p dereceli bir altgrup ve H ı üreten eleman h olsun. H değişmelidir,
dolayısıyla normaldir. G/H (quotient group) q elemanlı olmak zorunda olur
çünkü H'ın "left coset"lerinin sayısı q'dur. G/H derecesi q olduğu için
devirlidir, G/H ı üreten eleman gH olsun. O zaman g'nin derecesi q olur.
Böylece gh'ın derecesi qp dir.

  _____  

Date: Thu, 6 Nov 2008 13:13:57 -0800
From: tibetefendi at yahoo.com
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak
zorundadir?


Sorum su: "p ve q asal sayilar olmak üzere pq elemanli abelyen bir grup
neden devirli olmak zorundadir?"

(**) Biliyorum ki sonlu bir grubun icinde dereceleri aralarinda asal
(diyelim u ve v) olan iki eleman varsa derecesi u*v olan bir eleman daha
kesinlikle vardir.

Simdi bu yazdigim teoremden hareketle söyle düsünüyorum:
Gruptan e olmayan bir a elemani seciyorum. a'nin derecesi sonlu olmak
zorunda cünkü grup sonlu. a'nin ürettigi bir altgrup var (<a> deniyor buna).
<a>=G ise zaten sorun yok. Esit olmasin. Bu durumda Lagrange'in kanunundan
dolayi (altgrubun derecesi grubun derecesini böler) <a> ya p elemanli ya da
q elemanli olmak zorunda. Simdi <a> da olmayan bir b elemani seciyorum. Yine
<b> G'ye esit olmasin.

Buraya kadar geldim. Simdi <b> nin eleman sayisinin <a> ya esit
olamayacagini göstersem (**) teoremiyle is bitecek. Nasil gösterecegim
bilemiyorum. Dogru yol mudur? Grubun abelyen olmasini hic kullanmadim. Onu
bir yerde kullanmak gerekiyor.

Bir de tabi ki bir grubun derecesi ayni olan birden cok altgrubu olabilir.
Ama bu soru özelinde grup devirli cikacak. Eleman sayisi iki asal sayinin
carpimi. Yani birbirinden farkli ama derecesi ayni altgrup olamaz. Bana
oradan ilerlemem gerekiyormus gibi geliyor.

Abelyen gruplarin derecelerini bölen her asal p icin p elemanli
altgruplarinin oldugunun kanitini buldum. Onunla kanitlaniyor bu soru. Ama
onu kullanmadan daha kolay kaniti olmali. Bulamiyorum.

Ilgilenenlere simdiden tesekkürler

Tibet

 

  _____  

Get news, entertainment and everything you care about at Live.com. Check
<http://www.live.com/getstarted.aspx%20>  it out!

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081107/c89b3c88/attachment.htm